Module

Limites de fonctions

Domaine: Analyse
Prérequis: Voisinages et propriétés locales d’une fonction
Notations: Ensemble des réels achevés, Intervalle de définition

Fonctions tendant vers zéro

Explication Approche intuitive d’une limite nulle

Plus \(x\) est proche de \(a\), plus \(f(x)\) est proche de \(0\).

Tout intervalle de la forme \([-\varepsilon,\varepsilon]\) contient toutes les valeurs de \(f(x)\) pourvu que \(x\) soit assez proche de \(a\), dans \(I\).

\[|x-a|\le h\Longleftrightarrow -h\le x-a\le h\Longleftrightarrow a-h\le x\le a+h\]

\[|f(x)-0|\le\varepsilon\Longleftrightarrow -\varepsilon\le f(x)\le\varepsilon\]

Définition Limite nulle en un point

Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Une fonction \(f\) tend vers \(0\) en \(a\) si on a :

\[\forall\varepsilon>0,\ \exists h>0\ /\ \forall x\in I,\ |x-a|\le h\Rightarrow |f(x)|\le\varepsilon\]

Figure Approche d’une limite nulle

Schéma de l’approche de zéro lorsque \(x\) est proche de \(a\).

Notation Notations d’une limite nulle en un point

\[\lim_a f=0\qquad\text{ou}\qquad\lim_{x\to a}f(x)=0\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}0\]

Exemple résolu Limite nulle de la racine carrée réservé aux comptes

Définition Limite nulle en plus l’infini

Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(+\infty\). Une fonction \(f\) tend vers \(0\) en \(+\infty\) si on a :

\[\forall\varepsilon>0,\ \exists A\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\ge A\Rightarrow |f(x)|\le\varepsilon\]

Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation \(y=0\).

\[\lim_{+\infty}f=0\qquad\text{ou}\qquad\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}0\]

Définition Limite nulle en moins l’infini

Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(-\infty\). Une fonction \(f\) tend vers \(0\) en \(-\infty\) si on a :

\[\forall\varepsilon>0,\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\le B\Rightarrow |f(x)|\le\varepsilon\]

Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation \(y=0\).

\[\lim_{-\infty}f=0\qquad\text{ou}\qquad\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to-\infty}{\longrightarrow}0\]

Limites finies

Définition Limite finie d’une fonction

Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Une fonction \(f\) admet le réel \(l\) pour limite en \(a\) si la fonction \(f-l\) tend vers \(0\) en \(a\).

Propriété Unicité de la limite finie

Ce réel est alors unique ; on l’appelle limite de la fonction \(f\) en \(a\).

Notation Notations d’une limite finie

\[l=\lim_a f\qquad\text{ou}\qquad l=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}l\]

Remarques Remarques

Remarque Formulation en un point réel

Soit \(a\in\mathbb{R}\).

\[\left(\lim_{a} f=l\right)\ \text{signifie}\ \forall\varepsilon>0,\ \exists h>0\ /\ \forall x\in I,\ |x-a|\le h\Rightarrow |f(x)-l|\le\varepsilon\]

Remarque Formulation en plus l’infini

\[\left(\lim_{+\infty}f=l\right)\ \text{signifie}\ \forall\varepsilon>0,\ \exists A\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\ge A\Rightarrow |f(x)-l|\le\varepsilon\]

Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation \(y=l\).

Remarque Formulation en moins l’infini

\[\left(\lim_{-\infty}f=l\right)\ \text{signifie}\ \forall\varepsilon>0,\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\le B\Rightarrow |f(x)-l|\le\varepsilon\]

Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation \(y=l\).

Exemple résolu Limite finie d’une fonction rationnelle réservé aux comptes

Propriété Une limite finie implique une fonction bornée localement

Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Si \(f\) admet une limite finie en \(a\), alors \(f\) est bornée au voisinage de \(a\).

Exemple résolu Fonction inverse bornée au voisinage de plus l’infini réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Réciproque fausse

La réciproque est fausse. En effet, la fonction cosinus est bornée sur \(\mathbb{R}\), donc au voisinage de \(+\infty\), mais elle n’admet pas de limite en \(+\infty\).

Limites infinies

Définition Limite vers plus l’infini

Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Une fonction \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(a\) si on a :

\[\text{pour }a\in\mathbb{R},\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists h>0\ /\ \forall x\in I,\ |x-a|\le h\Rightarrow f(x)\ge A\]

Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale d’équation \(x=a\).

\[\text{pour }a=+\infty,\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\ge B\Rightarrow f(x)\ge A\]

\[\text{pour }a=-\infty,\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\le B\Rightarrow f(x)\ge A\]

Notation Notations d’une limite vers plus l’infini

\[\lim_{a}f=+\infty\qquad\text{ou}\qquad\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}+\infty\]

Définition Limite vers moins l’infini

Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Une fonction \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(a\) si \(-f\) tend vers \(+\infty\) en \(a\).

Notation Notations d’une limite vers moins l’infini

\[\lim_{a}f=-\infty\qquad\text{ou}\qquad\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}-\infty\]

Remarques Remarques

Remarque Formulation en un point réel

\[\text{pour }a\in\mathbb{R},\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists h>0\ /\ \forall x\in I,\ |x-a|\le h\Rightarrow f(x)\le A\]

Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale d’équation \(x=a\).

Remarque Formulation en plus l’infini

\[\text{pour }a=+\infty,\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\ge B\Rightarrow f(x)\le A\]

Remarque Formulation en moins l’infini

\[\text{pour }a=-\infty,\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\le B\Rightarrow f(x)\le A\]