Module
Limites classiques
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Fonctions monotones et limites
Croissances comparées et limites usuelles
Propriété Croissances comparées
Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(c\) strictement positifs :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^a}{e^{bx}}=\lim_{x\to+\infty}x^ae^{-bx}=0\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{bx}}{x^a}=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^c x}{x^a}=0\]
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^c x}{e^{bx}}=0\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{bx}}{\ln^c x}=+\infty\]
\[\lim_{x\to0^+}x^a\ln^c x=0\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to-\infty}|x|^ae^{bx}=0\]
Exemple résolu Limites avec logarithme et exponentielle réservé aux comptes
Propriété Limites usuelles
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2}\]
Remarque Conditions de validité
On ne peut utiliser ces formules que si \(a\), \(b\) et \(c\) sont strictement positifs au point indiqué.