Module

Voisinages et propriétés locales d’une fonction

Domaine: Analyse
Prérequis: Fonctions réelles d’une variable réelle
Notations: Ensemble des réels achevés, Intervalle de définition, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Voisinages et propriétés locales

Définition Fonction définie au voisinage d’un point

Soit a un réel. On dit qu’une fonction \(f\) est définie au voisinage de \(a\) s’il existe un réel strictement positif \(h\) tel que l’on soit dans l’un des trois cas suivants :

\[(I\cap[a-h,a+h])\setminus\{a\}=[a-h,a[\]

\[(I\cap[a-h,a+h])\setminus\{a\}=]a,a+h]\]

\[(I\cap[a-h,a+h])\setminus\{a\}=[a-h,a+h]\setminus\{a\}\]

Figure Voisinage latéral gauche d’un point

Schéma d’un voisinage latéral gauche de \(a\).

Figure Voisinage bilatéral privé du point

Schéma d’un voisinage de \(a\) privé de ce point.

Exemple résolu Fonctions définies au voisinage de zéro réservé aux comptes

Définition Fonction définie au voisinage de l’infini

On dit qu’une fonction \(f\) est définie au voisinage de \(+\infty\) s’il existe un réel \(A\) tel que

\[[A,+\infty[\subset I\]

On dit qu’une fonction \(f\) est définie au voisinage de \(-\infty\) s’il existe un réel \(B\) tel que

\[]-\infty,B]\subset I\]

Exemple résolu Fonctions définies au voisinage de plus l’infini réservé aux comptes

Définition Propriété vraie au voisinage d’un point

Soit \(a\in \overline{\mathbb{R}}\). On dit qu’une propriété portant sur \(f\) est vraie au voisinage de \(a\) si cette propriété est vraie sur l’intersection de \(I\) avec un intervalle du type

\(]a-h,a+h[\) avec \(h>0\) si \(a\in\mathbb{R}\)
\([A,+\infty[\) avec \(A\in\mathbb{R}\), si \(a=+\infty\)
\(]-\infty,B]\) avec \(B\in\mathbb{R}\), si \(a=-\infty\)

Exemple résolu Propriétés locales de fonctions réservé aux comptes