Cours
Fonctions dérivables
Plan
1 Dérivabilité
1.1 Dérivabilité en un point
1.2 Interprétations du nombre dérivé
1.3 Méthode de Newton
1.4 Dérivées à droite et à gauche en un point
1.5 Dérivabilité et continuité
1.6 Fonction dérivée
1.7 Opérations sur les fonctions dérivables
1.8 Dérivée d’une fonction réciproque
2 Propriétés des fonctions dérivables
2.1 Extremum d’une fonction dérivable
2.2 Théorème de Rolle
2.3 Égalité des accroissements finis
2.4 Inégalité des accroissements finis
3 Variations d’une fonction
3.1 Fonctions constantes et fonctions monotones
3.2 Fonctions strictement monotones
4 Fonction de classe \(\mathcal{C}^k\) sur un intervalle
4.1 Définitions
4.2 Opérations usuelles
Objectifs
Prérequis sur les fonctions et la continuité
Objectifs préalables
Objectifs préalables sur les fonctions et la continuité
Revoir les objectifs préalables relatifs aux fonctions, au calcul des dérivées et à la continuité.
Utiliser · Généralités sur les fonctions, Calcul de dérivées, Limites et continuité
Dérivabilité
Maîtrise de la dérivabilité
Dérivabilité en un point par le taux d’accroissement
Savoir montrer qu’une fonction est dérivable (dérivable à droite, dérivable à gauche) en un point en utilisant le taux d’accroissement.
Appliquer · Dérivabilité et nombre dérivé, Dérivées à droite et à gauche en un point
Approximation d’un zéro par la méthode de Newton
Savoir écrire un algorithme qui approxime un zéro d’une fonction continue, par exemple la méthode de Newton.
Exprimer, appliquer · Méthode de Newton
Dérivabilité d’une fonction réciproque
Savoir établir la dérivabilité d’une fonction réciproque.
Appliquer · Dérivée d’une fonction réciproque
Dérivée en un point d’une fonction réciproque
Savoir déterminer la dérivée en un point d’une fonction réciproque.
Déterminer · Dérivée d’une fonction réciproque en un point
Intervalle de dérivabilité par opérations
Savoir déterminer l’intervalle sur lequel une fonction est dérivable par somme, par produit, par composée, …
Déterminer · Opérations sur les fonctions dérivables
Dérivabilité sur un intervalle par opérations
Savoir montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle par somme, par produit, par composée, …
Appliquer · Opérations sur les fonctions dérivables
Continuité et dérivabilité
Maîtrise du lien entre continuité et dérivabilité
Lien entre dérivabilité et continuité
Connaître le lien entre dérivabilité et continuité d’une fonction.
Connaître · Dérivabilité et continuité
Établissement de la continuité d’une fonction
Établir la continuité d’une fonction en utilisant les résultats sur la continuité ou en montrant que la fonction est dérivable.
Appliquer · Continuité sur un intervalle, Continuité en un point d’une fonction dérivable
Propriétés des fonctions dérivables
Maîtrise des théorèmes et des variations
Condition nécessaire d’extremum local
Connaître la condition nécessaire d’extremum local en un point intérieur.
Connaître · Condition nécessaire d’extremum local
Théorème de Rolle et existence de zéros
Connaître le théorème de Rolle et savoir l’utiliser pour établir l’existence de zéros d’une fonction.
Connaître, utiliser · Théorème de Rolle
Égalité des accroissements finis
Connaître l’égalité des accroissements finis et savoir l’utiliser, par exemple pour établir la dérivabilité d’une fonction en un point ou un encadrement, …
Connaître, utiliser · Égalité des accroissements finis
Inégalité des accroissements finis
Connaître l’inégalité des accroissements finis et savoir l’utiliser, par exemple pour établir une inégalité du type \(|u_{n+1}-l|\leq k|u_n-l|\), …
Connaître, utiliser · Inégalité des accroissements finis
Monotonie et signe de la dérivée
Connaître le lien entre monotonie d’une fonction et signe de sa dérivée.
Connaître · Fonctions constantes et fonctions monotones
Stricte monotonie sur un intervalle
Savoir établir qu’une fonction est strictement monotone sur un intervalle.
Appliquer · Fonctions strictement monotones
Fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\)
Maîtrise des fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\)
Définitions de régularité d’ordre \(n\)
Connaître les définitions d’une fonction \(n\) fois dérivable et d’une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\).
Connaître, définir · Dérivées successives, Fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) et \(\mathcal{C}^\infty\)
Lien entre dérivabilité d’ordre \(n\) et classe \(\mathcal{C}^n\)
Connaître le lien entre fonction \(n\) fois dérivable sur un intervalle et fonction de classe \(\mathcal{C}^n\).
Connaître · Fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) et \(\mathcal{C}^\infty\)
Intervalle de régularité par opérations
Savoir déterminer l’intervalle sur lequel une fonction est \(n\) fois dérivable (de classe \(\mathcal{C}^n\)) par somme, par produit, par composée, …
Déterminer · Opérations usuelles sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\)
Régularité d’ordre \(n\) par opérations
Savoir montrer qu’une fonction est \(n\) fois dérivable (de classe \(\mathcal{C}^n\)) sur un intervalle par somme, par produit, par composée, comme réciproque, …
Appliquer · Opérations usuelles sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\)
Dérivée n-ième d’une fonction
Savoir déterminer la dérivée n-ième d’une fonction.
Déterminer · Dérivée n-ième d’une fonction
Calcul de fonctions dérivées
Maîtriser le calcul de fonctions dérivées.
Calculer · Fonction dérivée