Module

Systèmes linéaires

Domaine: Algèbre
Sous-modules: Interprétation matricielle d’un système d’équations linéaires, Méthode du pivot de Gauss, Opérations élémentaires sur les lignes d’un système linéaire, Systèmes linéaires homogènes
Notations: Matrices associées à un système linéaire

Définitions des systèmes linéaires

Définition Système linéaire

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels non nuls.

On appelle système de \(n\) équations linéaires à \(p\) inconnues \(x_1,x_2,\ldots,x_p\) tout système \((S)\) du type

\[\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1j}x_j+\cdots+a_{1p}x_p&=b_1\\\vdots&\vdots\\a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{ij}x_j+\cdots+a_{ip}x_p&=b_i\\\vdots&\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nj}x_j+\cdots+a_{np}x_p&=b_n\end{aligned}\right.\]

où \((a_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p}}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) sont des réels.

Définition Coefficients et seconds membres

Pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\times\left[\!\left[1,p\right]\!\right]\), les nombres \(a_{ij}\) sont appelés les coefficients du système et \(b_1,b_2,\ldots,b_n\) sont appelés les seconds membres du système.

Définition Système homogène

On appelle système homogène un système dont tous les seconds membres sont nuls ; c’est-à-dire on a :

\[\forall i\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\quad b_i=0\]

Définition Système homogène associé

On appelle système homogène associé à un système linéaire \((S)\), le système \((S_0)\) obtenu en remplaçant les \(b_i\) par \(0\).

Définition Solution d’un système linéaire

On appelle solution du système tout \(p\)-uplet \((x_1,x_2,\ldots,x_p)\) de \(\mathbb{R}^p\) vérifiant les \(n\) équations du système \((S)\).

Propriété Cardinal de l’ensemble des solutions

L’ensemble des solutions d’un système linéaire peut être vide ou non vide.

S’il est non vide, on verra qu’il est soit réduit à un seul élément de \(\mathbb{R}^p\), soit infini.

Définition Système compatible

Dans ce cas, on dit que le système est compatible.

Définition Système incompatible

Si l’ensemble des solutions est vide, on dit que le système est incompatible.

Définition Système de Cramer

On appelle système de Cramer un système linéaire de \(n\) équations à \(n\) inconnues ayant une unique solution.

Notations matricielles des systèmes linéaires

Notation Matrices associées à un système linéaire

Notations associées à un système linéaire.

Exemple résolu Matrices augmentées de systèmes linéaires réservé aux comptes