Module
Méthode du pivot de Gauss
- Domaine
- Algèbre
Réduction de Gauss
Définition Échelonnement en lignes et pivots
Une matrice est échelonnée en lignes lorsque chacune de ses lignes non nulles commence par au moins un zéro de plus que la précédente.
Un système linéaire est échelonné en lignes lorsque la matrice de ses coefficients est échelonnée en lignes.
Les pivots d’un système (respectivement d’une matrice) échelonné en lignes sont les premiers coefficients non nuls de chaque ligne non nulle.
Exemple résolu Matrices augmentées échelonnées en lignes réservé aux comptes
Méthode Réduction par pivot de Gauss
Par une suite finie d’opérations élémentaires, on transforme le système \((S)\) en un système \((\Sigma)\) équivalent échelonné supérieurement. La résolution de \((\Sigma)\) donne alors les solutions de \((S)\).
Pour résoudre le système \((S)\),
on écrit la matrice augmentée du système ;
on choisit, parmi les coefficients non nuls, un pivot \(a_{pq}\). Si c’est impossible, on passe à l’étape 5 ;
on réécrit le tableau en remplaçant chaque ligne \(L_i\) \((i\ne p)\) par \(L_i-\dfrac{a_{iq}}{a_{pq}}L_p\) ;
on reproduit l’étape 2 ;
on conclut en fonction de la situation.
Exemple résolu Réduction d’un système à solution unique réservé aux comptes
Exemple résolu Réduction d’un système à infinité de solutions réservé aux comptes
Exemple résolu Réduction d’un système incompatible réservé aux comptes
Critères de classification des systèmes échelonnés
Théorème Critère de Cramer par pivot de Gauss
(admis)
Un système de \(n\) équations à \(n\) inconnues est de Cramer si et seulement si la méthode du pivot de Gauss fait apparaître \(n\) pivots successifs non nuls.
Définition Inconnues principales et secondaires
Soit \((S)\) un système linéaire équivalent à un système \((\Sigma)\) échelonné en lignes.
Les inconnues principales sont les inconnues \(x_j\) telles que \(j\) soit une colonne où se trouve un pivot de \((\Sigma)\). Les autres inconnues sont secondaires (ou paramètres).
Exemple résolu Classification de systèmes échelonnés réservé aux comptes