L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)

Plan

1. 1 L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)

   1. 1.1 L’ensemble \(\mathbb{R}^n\)

      • L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)
        • \(n\)-uplets et ensemble \(\mathbb{R}^n\)
        • Famille de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\)

   2. 1.2 Opérations sur \(\mathbb{R}^n\)

      • L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)
        • Addition dans \(\mathbb{R}^n\)
        • Propriétés de l’addition dans \(\mathbb{R}^n\)
        • Multiplication d’un vecteur par un réel
        • Propriétés de la multiplication par un réel
        • Structure d’espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\)

   3. 1.3 Combinaisons linéaires de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\)

      • Combinaisons linéaires de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\)

2. 2 Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)

   1. 2.1 Définition et caractérisation

      • Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)
        • Sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\)
        • Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
        • Ensemble des solutions d’un système linéaire homogène

   2. 2.2 Sous-espaces engendrés

      • Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)
        • Droite vectorielle engendrée par un vecteur
        • Plan vectoriel engendré par deux vecteurs
        • Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie
        • Cas particuliers de sous-espaces engendrés

   3. 2.3 Intersection de sous-espaces vectoriels

      • Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)
        • Intersection de deux sous-espaces vectoriels
        • Intersection d’une famille finie de sous-espaces vectoriels

3. 3 Familles de vecteurs

   1. 3.1 Familles génératrices

      • Familles génératrices de vecteurs

   2. 3.2 Familles libres, familles liées

      • Familles libres et familles liées de vecteurs

4. 4 Bases

   • Bases de sous-espaces vectoriels

5. 5 Dimension des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)

   1. 5.1 Théorème de la base extraite

      • Dimension des sous-espaces vectoriels
        • Base extraite d’une famille génératrice

   2. 5.2 Dimension

      • Dimension des sous-espaces vectoriels
        • Comparaison des cardinaux d’une famille libre et génératrice
        • Existence et définition de la dimension

   3. 5.3 Dimension et bases

      • Dimension des sous-espaces vectoriels
        • Bornes sur les familles libres et génératrices
        • Caractérisation d’une base par la dimension
        • Complétion d’une famille libre en base

   4. 5.4 Dimension des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)

      • Dimension des sous-espaces vectoriels
        • Comparaison des dimensions de sous-espaces inclus

6. 6 Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base

   • Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base

Objectifs

Espace vectoriel réel \(\mathbb{R}^n\)

Opérations, combinaisons linéaires et colinéarité

• Opérations, base canonique et dimension de \(\mathbb{R}^n\)

  Connaître les opérations dans l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\), la base canonique de \(\mathbb{R}^n\), la dimension de \(\mathbb{R}^n\).

  Connaître · L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\), Base, Dimension d’un sous-espace vectoriel

• Combinaison linéaire d’autres vecteurs

  Savoir montrer qu’un vecteur est une combinaison linéaire d’autres vecteurs.

  Appliquer · Combinaison linéaire

• Colinéarité de deux vecteurs

  Savoir montrer que deux vecteurs sont colinéaires.

  Appliquer · Colinéarité

Démonstration d’un sous-espace vectoriel

• Par définition ou caractérisation

  Savoir démontrer qu’un ensemble \(F\) est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel \(E\), en utilisant la définition ou la caractérisation.

  Appliquer · Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)

• Ensemble de solutions

  En remarquant que \(F\) est l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène.

  Reconnaître · Ensemble des solutions d’un système linéaire homogène

• Ensemble de combinaisons linéaires

  En remarquant que \(F\) est l’ensemble de combinaisons linéaires de vecteurs, c’est à dire que l’on a : \(F=\operatorname{Vect}(S)\).

  Reconnaître · Sous-espace vectoriel engendré

• Intersection de sous-espaces vectoriels

  En remarquant que \(F\) est l’intersection de sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\).

  Reconnaître · Intersection de sous-espaces vectoriels

Familles de vecteurs

• Famille génératrice

  Savoir montrer qu’une famille de vecteurs est une famille génératrice d’un espace vectoriel.

  Appliquer · Famille génératrice

• Expressions avec \(\operatorname{Vect}\)

  Comprendre les expressions \(E=\operatorname{Vect}(S)\) et \(u\in\operatorname{Vect}(S)\). Par exemple, savoir que si \(u_1\) est colinéaire à un vecteur non nul \(u_3\) et si \(u_4\in\operatorname{Vect}(u_2,u_3)\), alors \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,u_3,u_4)=\operatorname{Vect}(u_2,u_3)\).

  Reconnaître · Sous-espace vectoriel engendré

• Famille libre ou liée

  Savoir montrer qu’une famille de vecteurs est libre (ou liée).

  Appliquer · Familles libres et familles liées de vecteurs

• Coordonnées dans une base

  Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base.

  Déterminer · Coordonnées d’un vecteur dans une base

• Déterminant d’une famille dans une base

  Savoir calculer le déterminant d’une famille de vecteurs dans une base.

  Calculer · Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base

Dimension des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)

• Théorèmes de la base extraite et incomplète

  Connaître le théorème de la base extraite, le théorème de la base incomplète.

  Connaître · Théorème de la base extraite, Complétion d’une famille libre en base

• Dimension d’un sous-espace vectoriel

  Savoir déterminer la dimension d’un sous-espace vectoriel.

  Déterminer · Dimension d’un sous-espace vectoriel

• Nombre de vecteurs d’une famille libre

  Savoir que dans un espace de dimension \(p\), le nombre de vecteurs d’une famille libre est au plus \(p\).

  Connaître · Bornes sur les familles libres et génératrices

• Nombre de vecteurs d’une famille génératrice

  Savoir que dans un espace de dimension \(p\), le nombre de vecteurs d’une famille génératrice est au moins \(p\).

  Connaître · Bornes sur les familles libres et génératrices

• Nombre de vecteurs d’une base

  Savoir que dans un espace de dimension \(p\), toute base compte exactement \(p\) vecteurs.

  Connaître · Caractérisation d’une base par la dimension

Démonstration qu’une famille est une base

• Par la définition

  À l’aide de la définition.

  Appliquer · Base d’un sous-espace vectoriel

• Par la caractérisation

  À l’aide de la caractérisation.

  Appliquer · Caractérisation d’une base par l’unicité des coordonnées

• Par la dimension

  À l’aide de la propriété suivante : la famille est libre (ou génératrice) et le nombre de vecteurs de cette famille correspondant à la dimension de \(E\).

  Appliquer · Caractérisation d’une base par la dimension

• Par un déterminant

  À l’aide d’un déterminant.

  Appliquer · Critère de base par un déterminant relatif