Module
Dimension des sous-espaces vectoriels
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Bases de sous-espaces vectoriels
Théorème de la base extraite
Théorème Base extraite d’une famille génératrice
Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), non réduit au vecteur nul.
De toute famille génératrice de \(E\), on peut extraire une base de \(E\).
Dimension d’un sous-espace vectoriel
Théorème Comparaison des cardinaux d’une famille libre et génératrice
Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).
On suppose que \(E\) est muni d’une famille génératrice à \(m\) vecteurs \((v_1,v_2,\ldots,v_m)\).
Si \((w_1,w_2,\ldots,w_p)\) est une famille libre de vecteurs de \(E\), alors on a \(p\le m\).
Autrement dit, si \(p>m\), alors \((w_1,w_2,\ldots,w_p)\) est une famille liée de vecteurs de \(E\).
Théorème Existence et définition de la dimension
Dans \(E\), un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), non réduit à \(\{0_{\mathbb{R}^n}\}\), toutes les bases de \(E\) ont le même nombre \(n\) d’éléments.
L’entier \(n\) est appelé la dimension de \(E\), notée \(\dim E\).
Par convention, si \(E\) est réduit à \(\{0_{\mathbb{R}^n}\}\), alors \(\dim E=0\).
Exemple résolu Dimension d’un sous-espace homogène de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes
Dimension et bases
Théorème Bornes sur les familles libres et génératrices
Dans \(E\), un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), dont la dimension \(p\) est connue \((0<p\le n)\) :
toute famille libre de vecteurs de \(E\) a au maximum \(p\) vecteurs ;
toute famille génératrice de \(E\) a au minimum \(p\) vecteurs.
Exemple résolu Familles libres et bases de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes
Théorème Caractérisation d’une base par la dimension
Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) dont la dimension \(p\) est connue \((0<p\le n)\). Soit \(S\) une famille de vecteurs de \(E\). Les propositions suivantes sont équivalentes.
\(S\) est une base de \(E\).
\(S\) est une famille libre à \(p\) éléments.
\(S\) est une famille génératrice à \(p\) éléments.
Remarques Remarques
Remarque Critère pratique pour une base
En pratique, pour montrer qu’une famille de \(p\) vecteurs d’un sous-espace vectoriel \(E\) de dimension \(p\) est une base de \(E\), il suffit de démontrer qu’elle est libre, ou bien qu’elle est génératrice de \(E\).
Remarque Deux vecteurs non colinéaires dans un espace de dimension deux
Deux vecteurs non colinéaires d’un espace vectoriel de dimension 2 en forment une base.
Exemple résolu Étude d’une base de \(\mathbb{R}^3\) par la dimension réservé aux comptes
Théorème Complétion d’une famille libre en base
Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) dont la dimension \(p\) est connue \((0<p\le n)\).
Soit \(S=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\) une famille libre de \(m\) vecteurs de \(E\) avec \(m<p\).
Alors \(S\) peut être complétée par \((p-m)\) vecteurs de \(E\) pour former une base de \(E\).
Exemple résolu Complétion d’une famille libre en base de \(\mathbb{R}^4\) réservé aux comptes
Dimension des sous-espaces vectoriels inclus
Théorème Comparaison des dimensions de sous-espaces inclus
Soit \(E\) et \(F\) deux sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\).
En particulier, \(\dim F\le n\) et on a : \(\dim F=n\Longleftrightarrow F=\mathbb{R}^n\).
Remarques Remarques
Remarque Dimension de \(\mathbb{R}^2\)
L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^2\) a une base formée de deux vecteurs \(e_1=(1,0)\) et \(e_2=(0,1)\). Toute autre base de \(\mathbb{R}^2\) est constituée de deux vecteurs et on a : \(\dim\mathbb{R}^2=2\).
Remarque Dimension de \(\mathbb{R}^n\)
De même, on a : \(\dim\mathbb{R}^n=n\). Toute base de \(\mathbb{R}^n\) est formée de \(n\) vecteurs.
Dans \(\mathbb{R}^n\), toute famille de \(p\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) est liée dès que l’on a : \(p>n\).
Remarque Dimension d’une droite et d’un plan vectoriels
Une droite vectorielle est un espace vectoriel de dimension 1 et un plan vectoriel est un espace vectoriel de dimension 2.