Module
Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Bases de sous-espaces vectoriels
Déterminant d’une famille dans une base
Définition Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base
Soit une base \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) de \(\mathbb{R}^n\).
Soit \((u_1,u_2,\ldots,u_n)\) une famille de \(n\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) tels que :
\[\forall j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\quad\exists!(a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{nj})\in\mathbb{R}^n,\quad u_j=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}e_i\]
On appelle déterminant de la famille de vecteurs \((u_1,u_2,\ldots,u_n)\) dans la base \(\mathcal{B}\), noté \(\det_{\mathcal{B}}(u_1,u_2,\ldots,u_n)\), le réel :
\[\det_{\mathcal{B}}(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]
Propriété Critère de base par un déterminant relatif
Soit une base \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) de \(\mathbb{R}^n\).
Soit \((u_1,u_2,\ldots,u_n)\) une famille de \(n\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).
\[(u_1,u_2,\ldots,u_n)\text{ est une base de }\mathbb{R}^n\Longleftrightarrow\det_{\mathcal{B}}(u_1,u_2,\ldots,u_n)\ne0\]
Exemple résolu Condition de base dans \(\mathbb{R}^3\) par un déterminant réservé aux comptes