Module

Familles génératrices de vecteurs

Domaine: Algèbre
Prérequis: Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)
Notations: Notation du sous-espace engendré

Familles génératrices

Définition Famille génératrice d’un sous-espace vectoriel

Soit \(p\in\mathbb{N}^*\).

Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

On dit qu’une famille finie de vecteurs \((u_1,u_2,\ldots,u_p)\) de \(E\) est génératrice si tout vecteur de \(E\) s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs \(u_1,u_2,\ldots,u_p\).

Autrement dit, \((u_1,u_2,\ldots,u_p)\) est une famille génératrice de \(E\) si on a :

\[\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)=E\]

Remarques Remarques

Remarque Connaissance d’un sous-espace par une famille génératrice

La connaissance d’une famille génératrice du sous-espace vectoriel \(E\) permet d’obtenir la connaissance de \(E\) tout entier.

Remarque Familles génératrices d’un sous-espace engendré

Par définition, \((u_1,u_2,\ldots,u_p)\) est une famille génératrice de \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\).

D’après l’exemple, \((u,v,w,t)\) est une famille génératrice de \(\operatorname{Vect}(u,v,w,t)\).

Or \(\operatorname{Vect}(u,v,w,t)\)\(=\operatorname{Vect}(u,v)\). Donc \((u,v)\) est une autre famille génératrice de \(\operatorname{Vect}(u,v,w,t)\).

Remarque Caractérisation d’une famille génératrice

\((u_1,u_2,\ldots,u_p)\) est une famille génératrice de \(E\) si et seulement si on a :

\[\forall i\in\left[\!\left[1,p\right]\!\right],\quad u_i\in E\quad\text{et}\quad\forall u\in E,\quad\exists(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p,\quad u=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i\]

Exemple résolu Reformulation d’un exemple de combinaison linéaire réservé aux comptes

Exemple résolu Famille génératrice de \(\mathbb{R}^3\) à deux vecteurs réservé aux comptes

Exemple résolu Famille génératrice de \(\mathbb{R}^2\) à trois vecteurs réservé aux comptes

Exemple résolu Détermination d’une famille génératrice de \(\mathbb{R}^2\) réservé aux comptes

Exemple résolu Détermination d’une famille génératrice de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes

Exemple résolu Détermination d’une famille génératrice de \(\mathbb{R}^n\) réservé aux comptes

Exemple résolu Famille génératrice d’un sous-espace de \(\mathbb{R}^4\) réservé aux comptes

Exemple résolu Famille génératrice d’un sous-espace homogène de \(\mathbb{R}^4\) réservé aux comptes