Module

Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)

Domaine: Algèbre
Prérequis: Combinaisons linéaires de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\)
Notations: Notation du sous-espace engendré

Définition et caractérisation

Définition Sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\)

On appelle sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) toute partie non vide \(F\) de \(\mathbb{R}^n\) telle que :

\[\forall(u,v)\in F^2,\quad u+v\in F\]

\[\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\forall u\in F,\quad\lambda u\in F\]

Remarque Stabilité par les opérations vectorielles

On dit aussi que \(F\) est stable par l’addition et par la multiplication par un réel.

Caractérisation et propriétés

Théorème Caractérisation d’un sous-espace vectoriel

Les propositions suivantes sont équivalentes.

\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

\[\left\{\begin{array}{l}F\subset\mathbb{R}^n,\\0_{\mathbb{R}^n}\in F,\\\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\ \forall(u,v)\in F^2,\ \lambda u+\mu v\in F.\end{array}\right.\]

Remarques Remarques

Remarque Caractérisation par stabilité

Les propositions suivantes sont équivalentes.

\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

\[\left\{\begin{array}{l}F\subset\mathbb{R}^n,\\0_{\mathbb{R}^n}\in F,\\F\text{ est stable par combinaison linéaire de tout couple de vecteurs de }F.\end{array}\right.\]

Remarque Sous-espaces triviaux de \(\mathbb{R}^n\)

Dans l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\), \(\left\{0_{\mathbb{R}^n}\right\}\) et \(\mathbb{R}^n\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\).

Exemple résolu Ensemble non homogène de \(\mathbb{R}^5\) réservé aux comptes

Propriété Ensemble des solutions d’un système linéaire homogène

L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à \(p\) inconnues et à coefficients réels est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^p\).

Exemple résolu Sous-espace défini par deux équations homogènes réservé aux comptes

Sous-espaces engendrés

Définition Droite vectorielle engendrée par un vecteur

Soit \(u\) un vecteur non nul de \(\mathbb{R}^n\).

\[D=\left\{v\in\mathbb{R}^n\mid \exists\alpha\in\mathbb{R},\ v=\alpha u\right\}=\left\{\alpha u\mid \alpha\in\mathbb{R}\right\}\]

L’ensemble \(D\) est appelé droite vectorielle engendrée par \(u\).

Propriété Nature de la droite vectorielle engendrée

\(D\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

Exemple résolu Droite vectorielle définie par une équation réservé aux comptes

Définition Plan vectoriel engendré par deux vecteurs

Soient \(u\) et \(v\) deux vecteurs non colinéaires de \(\mathbb{R}^n\).

\[P=\left\{w\in\mathbb{R}^n\mid \exists(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2,\ w=\alpha u+\beta v\right\}=\left\{\alpha u+\beta v\mid (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\right\}\]

L’ensemble \(P\) est appelé plan vectoriel engendré par \(u\) et \(v\).

Propriété Nature du plan vectoriel engendré

\(P\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

Exemple résolu Plan vectoriel défini par une équation réservé aux comptes

Définition Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie

Soient \(p\in\mathbb{N}^*\) et \(S=(u_1,u_2,\ldots,u_p)\) une famille finie de \(p\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).

L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de \(S\) est appelé sous-espace engendré par la famille \(S\).

Propriété Nature du sous-espace vectoriel engendré

L’ensemble ainsi défini est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

Notation Notation du sous-espace engendré

L’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs \(u_1,u_2,\ldots,u_p\) est noté \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\).

Exemple résolu Détermination d’un sous-espace engendré de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Écritures du sous-espace engendré

\[\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)=\left\{u\in\mathbb{R}^n\mid \exists(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p,\ u=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i\right\}\]

\[\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)=\left\{\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i\mid (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p\right\}\]

Remarque Appartenance au sous-espace engendré

\[u\in\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\Longleftrightarrow\exists(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p,\ u=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i\]

Remarque Inclusion dans un sous-espace vectoriel

Pour montrer une propriété du type \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\)\(\subset E\), \(E\) étant un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), il suffit de montrer que les vecteurs \(u_1,u_2,\ldots,u_p\) sont dans \(E\).

Remarque Transformations d’une famille engendrant le même sous-espace

\[\forall\lambda\in\mathbb{R}^*,\quad\operatorname{Vect}(\lambda u_1,u_2,\ldots,u_p)=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\]

\[\forall i\in\left[\!\left[2,p\right]\!\right],\quad\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\operatorname{Vect}(u_1+\lambda u_i,u_2,\ldots,u_p)=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\]

Si \(v\in\)\(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\), alors \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p,v)=\)\(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\).

Propriété Cas particuliers de sous-espaces engendrés

Soit \(u\) un vecteur non nul de \(\mathbb{R}^n\).

\[\operatorname{Vect}(u)=\left\{\alpha u\mid \alpha\in\mathbb{R}\right\}\]

Soient \(u\) et \(v\) deux vecteurs non colinéaires de \(\mathbb{R}^n\).

\[\operatorname{Vect}(u,v)=\left\{\alpha u+\beta v\mid (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\right\}\]

Intersection de sous-espaces vectoriels

Propriété Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\).

\[F\cap G\text{ est un sous-espace vectoriel de }\mathbb{R}^n\]

Propriété Intersection d’une famille finie de sous-espaces vectoriels

Soient \(p\in\mathbb{N}^*\) et \(F_1,F_2,\ldots,F_p\) des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\).

\[F_1\cap F_2\cap\cdots\cap F_p\text{ est un sous-espace vectoriel de }\mathbb{R}^n\]

Exemple résolu Intersection et réunion de deux droites vectorielles réservé aux comptes