Couples de variables aléatoires réelles sur un univers fini

Plan

1. 1 Couple de variables aléatoires réelles

   • Couples de variables aléatoires réelles sur un univers fini

2. 2 Indépendance de deux variables aléatoires réelles

   • Indépendance de deux variables aléatoires réelles

3. 3 Somme et produit de deux variables aléatoires réelles

   • Somme et produit de deux variables aléatoires réelles

4. 4 Covariance et coefficient de corrélation linéaire

   • Covariance et coefficient de corrélation linéaire

Objectifs

Prérequis

Objectifs préalables

• Objectifs de probabilités et de variables aléatoires

  Revoir les objectifs de probabilités sur un univers fini et de variables aléatoires réelles.

  Utiliser · Probabilités sur un univers fini, Variables aléatoires réelles sur un univers fini

• Définitions du couple et de ses lois

  Connaître les définitions des notions suivantes : couple de variables aléatoires, loi d’un couple (ou loi conjointe) et lois marginales d’un couple.

  Connaître, définir · Couple de variables aléatoires réelles, Loi conjointe d’un couple de variables aléatoires réelles, Loi marginale d’un couple de variables aléatoires réelles

• Loi d’un couple

  Savoir déterminer la loi d’un couple.

  Déterminer · Couple, loi conjointe et lois marginales

• Lois marginales d’un couple

  Savoir déterminer les lois marginales d’un couple à partir de la loi du couple.

  Déterminer · Calcul des lois marginales

• Loi et espérance de la somme et du produit

  Savoir déterminer la loi et l’espérance des variables \(X+Y\), \(XY\).

  Déterminer · Calcul des lois de la somme et du produit, Espérance de la somme et du produit

Covariance et coefficient de corrélation linéaire

Covariance et coefficient de corrélation linéaire

• Définitions et propriétés

  Connaître les définitions et les propriétés.

  Connaître, définir · Covariance de deux variables aléatoires réelles, Coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires réelles

• Espérance et variance d’une combinaison linéaire

  Connaître l’espérance et la variance de \(aX+bY\).

  Connaître, utiliser · Linéarité de l’espérance, Variance d’une combinaison linéaire de deux variables

• Calcul de la covariance et du coefficient de corrélation

  Savoir déterminer la covariance et le coefficient de corrélation linéaire.

  Déterminer · Covariance de deux variables aléatoires réelles, Coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires réelles

Variables aléatoires indépendantes

Indépendance

• Définition et propriétés

  Connaître la définition et les propriétés.

  Connaître, définir · Indépendance de deux variables aléatoires réelles

• Étude de l’indépendance

  Savoir étudier l’indépendance de deux variables aléatoires.

  étudier · Indépendance de deux variables aléatoires

Conséquences de l’indépendance

• Loi de la somme de variables indépendantes

  Déterminer la loi de probabilité de \(X+Y\), en particulier si \(X\) et \(Y\) suivent deux lois binomiales.

  Déterminer · Calcul des lois de la somme et du produit, Somme de deux lois binomiales indépendantes

• Espérance du produit

  Déterminer l’espérance de \(XY\).

  Déterminer · Espérance du produit de variables indépendantes

• Covariance et corrélation de variables indépendantes

  Déterminer la covariance et le coefficient de corrélation linéaire de \(X\) et \(Y\).

  Déterminer · Indépendance et covariance nulle, Bornes et indépendance du coefficient de corrélation

• Variance de la somme et de la différence

  Déterminer la variance de \(X+Y\) et de \(X-Y\).

  Déterminer · Variance de la somme de variables indépendantes, Variance de la différence de variables indépendantes

• Absence de réciproque

  Savoir que la réciproque de « Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors \(E(XY)=E(X)E(Y)\), c’est-à-dire \(\operatorname{cov}(X,Y)=0\) » est en général fausse.

  Connaître · Espérance de la somme et du produit, Indépendance et covariance nulle