Module
Indépendance de deux variables aléatoires réelles
- Domaine
- Probabilités
Indépendance de deux variables aléatoires
Définition Indépendance de deux variables aléatoires
On dit que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si :
Exemple résolu Indépendance de deux tirages avec remise réservé aux comptes
Notation Notation de l’indépendance
On note \(X\perp Y\) pour signifier que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
Propriété Événements associés à deux variables indépendantes
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes, alors pour toute partie \(A\) de \(X(\Omega)\) et pour toute partie \(B\) de \(Y(\Omega)\), on a :
En particulier, pour tout \(x,y\in\mathbb{R}^2\), \(p\bigl[(X\leq x)\cap(Y\leq y)\bigr]=p(X\leq x)\times p(Y\leq y)\).
Exemple résolu Loi du maximum de deux tirages réservé aux comptes
Propriété Indépendance des images par deux fonctions
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes, et si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions définies respectivement sur \(X(\Omega)\) et \(Y(\Omega)\), alors \(f(X)\) et \(g(Y)\) sont deux variables aléatoires indépendantes.
Exemple résolu Indépendance des carrés réservé aux comptes
Remarque Détermination de la loi conjointe en cas d’indépendance
Dans ce cas, les lois marginales permettent de définir la loi conjointe. Ceci n’est pas possible en général (voir l’exemple de la loi conjointe de deux tirages de boules).