Module
Somme et produit de deux variables aléatoires réelles
- Domaine
- Probabilités
Somme et produit de deux variables aléatoires
Exemple résolu Lois de la somme et du produit de deux tirages réservé aux comptes
Propriété Calcul des lois de la somme et du produit
La loi de probabilité de la variable aléatoire \(X+Y\) est définie par :
\[(X+Y)(\Omega)=\{x_i+y_j\mid(i,j)\in I\times J\}.\]
\[\forall k\in(X+Y)(\Omega),\quad p(X+Y=k)=\sum_{x_i+y_j=k}p\bigl[(X=x_i)\cap(Y=y_j)\bigr]=\sum_{i\in I}p\bigl[(X=x_i)\cap(Y=k-x_i)\bigr].\]
La loi de probabilité de la variable aléatoire \(XY\) est définie par :
\[(XY)(\Omega)=\{x_iy_j\mid(i,j)\in I\times J\}.\]
\[\forall k\in(XY)(\Omega),\quad p(XY=k)=\sum_{x_iy_j=k}p\bigl[(X=x_i)\cap(Y=y_j)\bigr].\]
Théorème Somme de deux lois binomiales indépendantes
Soient \(n,m\in(\mathbb{N}^*)^2\) et \(p\in]0,1[\).
Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes telles que :
\[X_1\sim\mathcal{B}(n,p)\quad\text{et}\quad X_2\sim\mathcal{B}(m,p).\]
Alors \(X_1+X_2\) suit une loi binomiale :
\[X_1+X_2\sim\mathcal{B}(n+m,p).\]
Exemple résolu Somme du nombre de piles et du nombre de trois réservé aux comptes
Théorème Espérance de la somme et du produit
\(X+Y\) et \(XY\) admettent une espérance :
\[E(X+Y)=E(X)+E(Y).\]
\[E(XY)=\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}(x_iy_j)\,p\bigl[(X=x_i)\cap(Y=y_j)\bigr].\]
Exemple résolu Calcul de l’espérance d’un produit réservé aux comptes
Théorème Espérance du produit de variables indépendantes
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors \(E(XY)=E(X)E(Y)\).
Remarques Remarques
Remarque Contraposée de l’égalité des espérances
Si \(E(XY)\ne E(X)E(Y)\), alors \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.
Remarque Absence de réciproque
La réciproque est fausse.