Module
Espérance d’une variable aléatoire
- Domaine
- Probabilités
Espérance et centrage
Définition Espérance d’une variable aléatoire
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\).
On appelle espérance de \(X\), le réel noté \(E(X)\), défini par :
Exemple résolu Calcul de l’espérance d’une variable aléatoire réservé aux comptes
Définition Variable aléatoire réelle centrée
Si \(E(X)=0\), on dit que la variable aléatoire réelle \(X\) est centrée.
Définition Variable aléatoire réelle centrée associée
\(X-E(X)\) est appelée variable aléatoire réelle centrée associée à \(X\).
Théorème de transfert et linéarité de l’espérance
Théorème Transfert de l’espérance (admis)
Si \(X\) est une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\), et si \(u\) est une fonction définie sur \(X(\Omega)\), alors l’espérance de la variable aléatoire \(u(X)\) est donnée par :
En particulier, pour tout \((a,b)\in\mathbb{R}^2\), on a :
Remarque Calcul par transfert sans loi de \(u(X)\)
Cette formule permet de calculer l’espérance de \(u(X)\) sans connaître sa loi de probabilité.
Exemple résolu Calcul de l’espérance de \(X^2\) par deux méthodes réservé aux comptes
Exemple résolu Calcul direct de l’espérance de \(X^2\) réservé aux comptes
Propriété Linéarité de l’espérance
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles définies sur \(\Omega\).
Soient \(a\) et \(b\) deux réels.
Remarque Interprétation de l’espérance comme moyenne pondérée
\(E(X)\) est la moyenne pondérée des valeurs prises par \(X\), pondérées par les probabilités de chacune de ses valeurs.