Module

Valeurs propres d’une matrice carrée

Domaine: Algèbre
Prérequis: Matrices à coefficients réels, Matrices inversibles, Déterminant d’une matrice carrée, Matrices semblables
Notations: Espaces d’applications linéaires réelles, Espaces de matrices à coefficients réels, Application déterminant des matrices carrées

Éléments propres d’une matrice carrée

Définition Vecteur propre, valeur propre et spectre d’une matrice

\[A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\]

Une matrice colonne \(X\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est un vecteur propre de \(A\) si \(X\) est non nulle et s’il existe \(\lambda\in\mathbb{R}\) tel que \(AX=\lambda X\).

Ce réel \(\lambda\), nécessairement unique, est appelé valeur propre de \(A\) associée à \(X\).

L’ensemble des valeurs propres de \(A\) est appelé spectre de \(A\) et est noté \(\operatorname{Sp}(A)\).

Caractérisation Caractérisations des valeurs propres d’une matrice

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\Longleftrightarrow\exists X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\ X\ne0_{n,1},\ AX=\lambda X\]

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\Longleftrightarrow\exists X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\ X\ne0_{n,1},\ (A-\lambda I_n)X=0_{n,1}\]

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\Longleftrightarrow\text{le système homogène }(A-\lambda I_n)X=0\text{ a une infinité de solutions}\]

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\Longleftrightarrow A-\lambda I_n\text{ est une matrice non inversible}\]

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\Longleftrightarrow\det(A-\lambda I_n)=0\]

Exemple résolu Invariance du spectre par similarité réservé aux comptes

Exemple résolu Éléments propres d’une matrice d’ordre deux réservé aux comptes

Définition Sous-espace propre associé à une valeur propre

Le sous-espace propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\) est le sous-espace \(E_\lambda=\{X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\mid AX=\lambda X\}\).

Remarques Remarques

Remarque Écriture à l’aide du noyau

On note aussi \(E_\lambda=\operatorname{Ker}(A-\lambda I_n)\), avec \(I_n\) la matrice unité (ou matrice identité) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Remarque Dimension et base canonique

\(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) de dimension \(n\). Sa base canonique est constituée des matrices colonnes

\[\left(\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{pmatrix}\right)\]

Remarque Majorant de la dimension

\(E_\lambda\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). Par suite, \(\dim E_\lambda\le n\).