Module

Valeurs propres d’un endomorphisme

Domaine: Algèbre
Prérequis: Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\), Noyau et image d’une application linéaire, Déterminant d’un endomorphisme, Familles libres et familles liées de vecteurs
Notations: Espaces d’applications linéaires réelles

Éléments propres d’un endomorphisme

Définition Vecteur propre, valeur propre et spectre

\[f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\]

Un vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^n\) est un vecteur propre de \(f\) si \(x\) est non nul et s’il existe \(\lambda\in\mathbb{R}\) tel que \(f(x)=\lambda x\).

Ce réel \(\lambda\), nécessairement unique, est appelé valeur propre de \(f\) associée au vecteur propre \(x\).

L’ensemble des valeurs propres de \(f\) est appelé spectre de \(f\) et est noté \(\operatorname{Sp}(f)\).

Remarques Remarques

Remarque Colinéarité caractéristique

Un vecteur propre de \(f\) est un vecteur \(x\) non nul tel que \(x\) et \(f(x)\) soient colinéaires.

Remarque Unicité de la valeur propre associée

Comme \(x\) est non nul, une telle valeur propre \(\lambda\) est unique.

Remarque Exclusion du vecteur nul

Le vecteur nul de \(\mathbb{R}^n\) n’est pas un vecteur propre.

Caractérisation Caractérisations des valeurs propres

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(f)\Longleftrightarrow\exists x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0_{\mathbb{R}^n}\},\ f(x)=\lambda x\Longleftrightarrow\exists x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0_{\mathbb{R}^n}\},\ f(x)-\lambda x=0_{\mathbb{R}^n}\]

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(f)\Longleftrightarrow\exists x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0_{\mathbb{R}^n}\},\ x\in\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\Longleftrightarrow\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\ne\{0_{\mathbb{R}^n}\}\]

\[\lambda\notin\operatorname{Sp}(f)\Longleftrightarrow\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})=\{0_{\mathbb{R}^n}\}\]

Exemple résolu Valeurs propres d’endomorphismes associés à des matrices réservé aux comptes

Définition Sous-espace propre associé à une valeur propre

Le sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\) est le sous-espace \(\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\).

Remarques Remarques

Remarque Structure et dimension

\(\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\). Par suite, sa dimension est inférieure ou égale à \(n\).

Remarque Valeur propre nulle et noyau

Tout vecteur non nul du noyau de \(f\) est un vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(0\).

Exemple résolu Sous-espace propre et base adaptée réservé aux comptes

Conséquences des caractérisations

Propriété Critère de bijectivité d’un endomorphisme

\[f\text{ est bijective}\Longleftrightarrow\operatorname{Ker}f=\{0_{\mathbb{R}^n}\}\Longleftrightarrow\det(f)\ne0\]

Propriété Critères de valeur propre et de non-bijectivité

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(f)\Longleftrightarrow\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\ne\{0_{\mathbb{R}^n}\}\]

\[\lambda\in\operatorname{Sp}(f)\Longleftrightarrow f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\text{ n’est pas bijective}\Longleftrightarrow\det(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})=0\]

\[0\in\operatorname{Sp}(f)\Longleftrightarrow\operatorname{Ker}f\ne\{0_{\mathbb{R}^n}\}\Longleftrightarrow\det(f)=0\]

\[0\in\operatorname{Sp}(f)\Longleftrightarrow f\text{ n’est pas bijective}\]

Exemple résolu Invariance d’une droite vectorielle réservé aux comptes

Théorème Liberté de vecteurs propres associés à des valeurs distinctes

Ce théorème est admis.

Soient \(p\in\mathbb{N}^*\) et \(p\) valeurs propres \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p\) deux à deux distinctes de \(f\). Toute famille \((u_1,\ldots,u_p)\) de \(p\) vecteurs propres respectivement associés à \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p\) est une famille libre.

Toute famille finie obtenue par juxtaposition de bases des sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes de \(f\) est libre.