Module

Polynôme caractéristique

Domaine: Algèbre
Prérequis: Polynômes, Valeurs propres d’un endomorphisme, Valeurs propres d’une matrice carrée
Notations: Espaces d’applications linéaires réelles, Espaces de matrices à coefficients réels, Application déterminant des matrices carrées

Définition et propriétés

Définition Polynôme caractéristique d’un endomorphisme et d’une matrice

\[f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\]

Le polynôme caractéristique de \(f\), noté \(C_f\), est le déterminant de \(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\).

\[C_f(\lambda)=\operatorname{det}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\]

\[A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\]

Le polynôme caractéristique de \(A\), noté \(C_A\), est le déterminant de \(A-\lambda I_n\).

\[C_A(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I_n)\]

Exemple résolu Calcul du polynôme caractéristique d’un endomorphisme associé à une matrice réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Invariance par choix de base

Soient \(\mathcal{B}\) une base de \(\mathbb{R}^n\) et \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) de matrice \(A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\). Alors \(C_A=C_f\).

Remarque Degré et coefficient dominant

\(C_f\) est un polynôme de degré \(n\), de coefficient dominant \((-1)^n\).

Remarque Invariance par similarité

Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

Contre-exemple Même polynôme caractéristique sans similarité réservé aux comptes

Théorème Valeurs propres et racines du polynôme caractéristique

Les valeurs propres d’un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), respectivement d’une matrice carrée, sont les racines de son polynôme caractéristique.

Exemple résolu Spectre d’une matrice d’ordre trois réservé aux comptes

Exemple résolu Spectre d’une matrice d’ordre deux réservé aux comptes

Multiplicité des valeurs propres

Propriété Nombre de valeurs propres

Il existe des matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et des endomorphismes de \(\mathbb{R}^n\) qui n’admettent pas de valeur propre.
Si une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) ou un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) admet des valeurs propres, il y en a au plus \(n\).

Définition Ordre de multiplicité d’une racine

Soient \(P\) un polynôme non nul, \(a\in\mathbb{R}\) et \(k\in\mathbb{N}^*\). On dit que \(a\) est une racine d’ordre \(k\) de \(P\) lorsqu’il existe un polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}[X]\) tel que \(P=(X-a)^kQ\) et \(Q(a)\ne0\).

L’entier \(k\) est appelé ordre de multiplicité de la racine \(a\).

Si \(k=1\), \(a\) est une racine simple de \(P\). Si \(k=2\), \(a\) est une racine double de \(P\).

Définition Ordre de multiplicité d’une valeur propre

On appelle ordre de multiplicité d’une valeur propre d’un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), respectivement d’une matrice carrée, son ordre de multiplicité dans son polynôme caractéristique.

Propriété Dimension du sous-espace propre et multiplicité

Soient \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) et \(\lambda\) une valeur propre de \(f\), d’ordre de multiplicité \(m_\lambda\).

\[1\leq\dim\bigl(\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\bigr)\leq m_\lambda\]

Le sous-espace propre associé à une valeur propre simple d’un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) est une droite vectorielle.

Exemple résolu Valeurs propres et bases de sous-espaces propres réservé aux comptes