Module
Matrices et applications linéaires
- Domaine
- Algèbre
Matrice associée à une application linéaire
Définition Matrice associée dans deux bases
Soient \(\mathcal{B}_1=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) une base de \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathcal{B}_2=(v_1,v_2,\ldots,v_p)\) une base de \(\mathbb{R}^p\).
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\). \(f\) est entièrement définie par la donnée des vecteurs \(f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_n)\), eux-mêmes déterminés par leurs coordonnées dans la base \(\mathcal{B}_2\).
On appelle matrice associée à \(f\) dans les bases \(\mathcal{B}_1\) et \(\mathcal{B}_2\), notée \(\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2}(f)\), la matrice dont la \(j\)-ème colonne, pour \(j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), est formée des coordonnées de \(f(e_j)\) dans la base \(\mathcal{B}_2\).
C’est donc une matrice à \(p\) lignes et à \(n\) colonnes.
Exemple résolu Matrice d’une application de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\) réservé aux comptes
Exemple résolu Matrice dans les bases canoniques réservé aux comptes
Exemple résolu Matrices d’un endomorphisme dans deux bases réservé aux comptes
Écriture matricielle de l’image d’un vecteur
Propriété Produit de la matrice par les coordonnées
Soient \(\mathcal{B}_1=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) une base de \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathcal{B}_2=(v_1,v_2,\ldots,v_p)\) une base de \(\mathbb{R}^p\).
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\), avec \(A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2}(f)\).
Si l’on désigne par \(X\) la matrice colonne des coordonnées du vecteur \(x\) dans la base \(\mathcal{B}_1\), et par \(Y\) la matrice colonne des coordonnées du vecteur \(y=f(x)\) dans la base \(\mathcal{B}_2\), alors on a \(Y=AX\).
Exemple résolu Image d’un vecteur à partir de sa matrice réservé aux comptes
Lien entre les opérations et leurs matrices
Propriété Matrice d’une combinaison linéaire
Soient \(f\) et \(g\) deux applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\). On suppose que \(\mathcal{B}_1\) et \(\mathcal{B}_2\) sont respectivement des bases de \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathbb{R}^p\).
Exemple résolu Combinaison \(2f-g\) réservé aux comptes
Composition et inversibilité matricielles
Propriété Matrice d’une composée
Soient \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\) et \(g\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^p\) dans \(\mathbb{R}^q\).
On suppose que \(\mathcal{B}_1\), \(\mathcal{B}_2\) et \(\mathcal{B}_3\) sont respectivement des bases de \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{R}^p\) et \(\mathbb{R}^q\).
Exemple résolu Matrices de \(f\circ g\) et \(g\circ f\) réservé aux comptes
Propriété Automorphisme et inversibilité de sa matrice
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), muni d’une base \(\mathcal{B}\).
\(f\) est bijective si et seulement si \(\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\) est inversible.
Exemple résolu Inverse d’un automorphisme de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Cas d’un endomorphisme
Si \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) et si l’on prend la même base pour repérer un vecteur et son image, on note \(\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\) la matrice associée à \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^n\).
Remarque Interprétation d’une matrice
Toute matrice de \(\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\) peut toujours être considérée comme la matrice d’une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).