Terme

Matrice associée à une application linéaire

Expression: matrice associée à une application linéaire, matrice associée à \(f\), matrices associées à une application linéaire
Symbole: \(\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2}(f)\)
Termes plus larges: Application linéaire, Base, Matrice à coefficients réels
Emploie: Application linéaire
Contexte: Base
Cas particulier de: Matrice à coefficients réels
Contexte de: Compatibilité des formats de matrices

Définition

Définition Matrice associée dans deux bases

Soient \(\mathcal{B}_1=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) une base de \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathcal{B}_2=(v_1,v_2,\ldots,v_p)\) une base de \(\mathbb{R}^p\).

Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\). \(f\) est entièrement définie par la donnée des vecteurs \(f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_n)\), eux-mêmes déterminés par leurs coordonnées dans la base \(\mathcal{B}_2\).

On appelle matrice associée à \(f\) dans les bases \(\mathcal{B}_1\) et \(\mathcal{B}_2\), notée \(\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2}(f)\), la matrice dont la \(j\)-ème colonne, pour \(j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), est formée des coordonnées de \(f(e_j)\) dans la base \(\mathcal{B}_2\).

C’est donc une matrice à \(p\) lignes et à \(n\) colonnes.

\[\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2}(f)=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{p1}&\cdots&a_{pj}&\cdots&a_{pn}\end{pmatrix},\qquad\forall j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\quad f(e_j)=\sum_{i=1}^{p}a_{ij}v_i.\]

Remarques Remarques

Remarque Cas d’un endomorphisme

Si \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) et si l’on prend la même base pour repérer un vecteur et son image, on note \(\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\) la matrice associée à \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^n\).

Remarque Interprétation d’une matrice

Toute matrice de \(\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\) peut toujours être considérée comme la matrice d’une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).

Exemple résolu Matrice d’une application de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\) réservé aux comptes

Exemple résolu Matrice dans les bases canoniques réservé aux comptes

Exemple résolu Matrices d’un endomorphisme dans deux bases réservé aux comptes

Module : Matrices et applications linéaires