Module

Intégrale et aire

Domaine: Analyse
Prérequis: Primitives et intégrales
Notations: Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Unité d’aire

Définition Unité d’aire dans un repère orthogonal

Dans un repère orthogonal \(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ}\), on appelle unité d’aire, notée u.a, l’aire du rectangle \(OIKJ\) où \(K\) est le point de coordonnées \((1,1)\).

Figure Rectangle unité dans un repère orthogonal

Repère orthogonal avec le rectangle unité hachuré.

Aire de domaines délimités

Définition Domaine délimité par une courbe et aire associée

Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a\leq b\).

Dans ce repère orthogonal, \(D\) est le domaine situé entre la courbe représentative d’une fonction \(f\), l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x=a\) et \(x=b\).

On note \(\operatorname{aire}(D)\) l’aire du domaine \(D\) en unités d’aire.

Propriété Aire lorsque la fonction est positive

Cas d’une fonction \(f\) continue et positive sur \([a,b]\).

\[\operatorname{aire}(D)=\int_a^b f(t)\,dt\]

Figure Domaine hachuré au-dessus de l’axe des abscisses

Repère avec un domaine hachuré situé au-dessus de l’axe des abscisses.

Propriété Aire lorsque la fonction est négative

Cas d’une fonction \(f\) continue et négative sur \([a,b]\).

\[\operatorname{aire}(D)=-\int_a^b f(t)\,dt\]

Figure Domaine hachuré sous l’axe des abscisses

Repère avec un domaine hachuré situé sous l’axe des abscisses.

Définition Aire algébrique d’un domaine

On dit que \(\int_a^b f(t)\,dt\) est l’aire algébrique du domaine \(D\).

Propriété Décomposition de l’aire selon le signe

Cas d’une fonction \(f\) continue et de signe quelconque sur \([a,b]\).

L’aire de \(D\) est la somme des aires algébriques des domaines définis par des intervalles sur lesquels \(f\) garde un signe constant.

\[\operatorname{aire}(D)=\int_a^c f(t)\,dt-\int_c^d f(t)\,dt+\int_d^b f(t)\,dt\]

Figure Domaines successifs de signes alternés

Courbe traversant l’axe des abscisses et domaines hachurés de signes alternés.

Intégrale d’une fonction continue sur un segment

Notation Fonction continue sur un intervalle

Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\).

Définition Intégrale d’une fonction continue positive

Si \(f\) est une fonction continue et positive sur le segment \([a,b]\), on appelle intégrale de \(f\) sur \([a,b]\) l’aire du domaine \(D\) délimité par la courbe représentative de \(f\), les droites d’équation \(x=a\), \(x=b\) et \(y=0\) ; cette aire est exprimée en unités d’aire.

\[a<b\]

Notation Notations de l’intégrale sur un segment

\[\int_a^b f(t)\,dt\quad\text{ou}\quad\int_a^b f\quad\text{ou}\quad\int_{[a,b]} f\]

Exemple résolu Intégrale sur l’intervalle [2,4] réservé aux comptes

Exemple résolu Intégrale d’une demi-circonférence unité réservé aux comptes

Exemple résolu Intégrale d’une constante positive réservé aux comptes

Définition Aire algébrique associée à une intégrale

Soient \(f\) une fonction continue sur \(I\), et \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\).

Si \(a<b\), alors \(\int_a^b f\) désigne l’aire algébrique, en unités d’aire, du domaine \(D\) délimité par la courbe représentative de \(f\), les droites d’équation \(x=a\), \(x=b\) et \(y=0\).

Si \(a>b\), alors \(\int_a^b f\) désigne l’aire algébrique, en unités d’aire, du domaine \(D\) situé entre la courbe représentative de \(-f\), les droites d’équation \(x=a\), \(x=b\) et \(y=0\).

\[a=b\implies\int_a^b f=0\]

Exemple résolu Intégrale sur l’intervalle [-2,5] réservé aux comptes

Définition Valeur moyenne d’une fonction sur un segment

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) avec \(a<b\). On appelle valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) le réel :

\[m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f\]

Propriétés de l’intégrale

Propriété Relation de Chasles

(admis)

Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\).

Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(c\) de \(I\), on a :

\[\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt\]

Propriété Linéarité de l’intégrale

(admis)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(I\).

Pour tous réels \(a\), \(b\) de \(I\), et pour tous réels \(\lambda\), \(\mu\), on a :

\[\int_a^b(\lambda f+\mu g)(t)\,dt=\lambda\int_a^b f(t)\,dt+\mu\int_a^b g(t)\,dt\]

Propriété Positivité de l’intégrale

Soit \(f\) une fonction continue sur un segment \(I\).

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) avec \(a\leq b\).

Si \(f\) est positive sur \([a,b]\), alors :

\[\int_a^b f(t)\,dt\geq0\]

Corollaire Croissance de l’intégrale

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un segment \(I\).

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) avec \(a\leq b\).

\[\forall x\in[a,b],\quad f(x)\leq g(x)\Longrightarrow\int_a^b f(t)\,dt\leq\int_a^b g(t)\,dt\]

Exemple résolu Inégalité \(\sin x\leq x\) réservé aux comptes

Exemple résolu Limite d’une intégrale entre \(x\) et \(3x\) réservé aux comptes

Propriété Majoration de la valeur absolue d’une intégrale

Soit \(f\) une fonction continue sur un segment \(I\).

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) avec \(a\leq b\).

\[\left|\int_a^b f(t)\,dt\right|\leq\int_a^b\left|f(t)\right|\,dt\]

Exemple résolu Majoration d’une intégrale de sinus réservé aux comptes