Module
Endomorphismes et matrices diagonalisables
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Polynôme caractéristique, Changement de bases
Définitions
Définition Endomorphisme diagonalisable
Un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) est diagonalisable s’il existe une base de \(\mathbb{R}^n\) dans laquelle sa matrice est diagonale.
Diagonalisabilité des matrices
Définition Matrice diagonalisable
Une matrice carrée est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Remarques Remarques
Remarque Similarité de deux matrices
Deux matrices \(M\) et \(D\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) inversible de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que
Remarque Formulation par conjugaison
\(M\) est diagonalisable s’il existe une matrice \(P\) inversible de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(P^{-1}MP\) soit diagonale.
Remarque Colonnes de la matrice de passage
Les coefficients de la diagonale \(D\) sont les valeurs propres de \(M\) :
Pour tout \(k\in\{1,\ldots,n\}\), la matrice colonne \(C_k\) de \(P\) est un vecteur propre de \(M\) :
Remarque Cas d’une unique valeur propre
Si \(M\) est diagonalisable et possède une seule valeur propre \(\lambda\) dans \(\mathbb{R}\), alors \(D=\lambda I_n\), d’où \(M=P(\lambda I_n)P^{-1}=\lambda I_n\). Si \(M\) possède une seule valeur propre \(\lambda\) dans \(\mathbb{R}\) et si \(M\ne\lambda I_n\), \(M\) n’est pas diagonalisable.
Exemple résolu Vérification de la diagonalisabilité d’une matrice réservé aux comptes
Propriété Diagonalisabilité d’un endomorphisme et de sa matrice
Soit \(\mathcal{B}\) une base de \(\mathbb{R}^n\). Soit \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) de matrice \(A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\). \(f\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) est diagonalisable.
Caractérisations
Théorème Critère par les dimensions des sous-espaces propres
Un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de \(\mathbb{R}^n\).
Exemple résolu Application à un endomorphisme déjà étudié réservé aux comptes
Théorème Critère par le polynôme caractéristique
Un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est un produit de polynômes de degré \(1\) et la dimension de chacun des sous-espaces propres est égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre associée.
Exemple résolu Étude d’un endomorphisme associé à une matrice réservé aux comptes
Exemple résolu Étude d’un endomorphisme à deux valeurs propres réservé aux comptes
Condition suffisante de diagonalisation
Corollaire Endomorphisme ayant des valeurs propres simples
Si un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) admet \(n\) valeurs propres simples, alors il est diagonalisable.
Remarques Remarques
Remarque Réciproque fausse
La réciproque est fausse. Si \(f\) est diagonalisable, \(f\) n’a pas nécessairement \(n\) valeurs propres. Dans l’exemple précédent, \(f\) est diagonalisable mais \(\operatorname{Sp}(f)=\{-3,3\}\).
Corollaire Matrice carrée ayant des valeurs propres simples
Si une matrice carrée d’ordre \(n\) admet \(n\) valeurs propres simples, alors elle est diagonalisable.
Exemple résolu Comparaison de trois matrices réservé aux comptes
Exemple résolu Matrice diagonalisable sans calcul de son polynôme caractéristique réservé aux comptes
Méthode pratique
Méthode Vérification pratique de la diagonalisabilité
Soit \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\). On note \(A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\), \(\mathcal{B}\) étant une base de \(\mathbb{R}^n\). On détermine, si cela est possible, la forme factorisée dans \(\mathbb{R}\) du polynôme caractéristique \(C_f\) et \(\operatorname{Sp}(f)\), son spectre.
Premier cas : le polynôme caractéristique \(C_f\) n’est pas un produit de polynômes de degré \(1\) ; \(f\) n’est pas diagonalisable.
Deuxième cas : le polynôme caractéristique \(C_f\) est un produit de polynômes de degré \(1\). Si \(f\) admet \(n\) valeurs propres simples, \(f\) est diagonalisable. Sinon, on compare la dimension de chaque sous-espace propre à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.
On commence par les valeurs propres de multiplicité supérieure ou égale à \(2\), puisqu’une valeur simple a un sous-espace propre de dimension \(1\). Si \(\lambda\) est une valeur propre de multiplicité \(m_\lambda\), avec \(m_\lambda\geq 2\), on détermine une base du sous-espace propre \(\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\) pour obtenir sa dimension. Pour cela, on résout le système matriciel \(AX=\lambda X\).
Si \(\dim\operatorname{Ker}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\ne m_\lambda\), \(f\) n’est pas diagonalisable. Sinon, si toutes les valeurs propres multiples ont un sous-espace propre de dimension égale à l’ordre de multiplicité, alors \(f\) est diagonalisable. Il ne reste plus qu’à déterminer si besoin une base de chaque sous-espace propre correspondant à une valeur propre simple.
Si \(f\) est diagonalisable, la réunion des bases de chaque sous-espace propre donne une base \(\mathcal{D}\) de \(\mathbb{R}^n\), formée de vecteurs propres. On en déduit la matrice de passage \(P\) de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{D}\) et l’égalité
où \(D\) est une matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres de \(A\), dans l’ordre des vecteurs propres de la base \(\mathcal{D}\).
Applications de la diagonalisation
Exemple résolu Calcul de la puissance k-ième d’une matrice réservé aux comptes
Exemple résolu Système de suites récurrentes réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Transition vers les caractérisations
On en déduit la caractérisation suivante.
Remarque Représentation dans une base
Un endomorphisme \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^n\) et \(n\) réels \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\) tels que
Remarque Caractérisation par une base de vecteurs propres
\(f\) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^n\) constituée de vecteurs propres de \(f\). Alors \(\operatorname{Sp}(f)=\{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\}\).
Remarque Caractérisation par similarité à une matrice diagonale
On note \(A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\), \(\mathcal{B}\) étant une base de \(\mathbb{R}^n\). Alors \(f\) est diagonalisable si et seulement s’il existe une matrice \(P\) inversible et une matrice \(D\) diagonale telles que
\(P\) est la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base de vecteurs propres.