Terme
Endomorphisme diagonalisable
- Expression
- endomorphisme diagonalisable, endomorphismes diagonalisables
- Adjectif
- diagonalisable
- Termes plus larges
- Endomorphisme d’un espace vectoriel réel
- Cas particulier de
- Endomorphisme d’un espace vectoriel réel
- Condition de définition
- Matrice diagonale
Définition
Définition Endomorphisme diagonalisable
Un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) est diagonalisable s’il existe une base de \(\mathbb{R}^n\) dans laquelle sa matrice est diagonale.
Remarques Remarques
Remarque Transition vers les caractérisations
On en déduit la caractérisation suivante.
Remarque Représentation dans une base
Un endomorphisme \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^n\) et \(n\) réels \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\) tels que
Remarque Caractérisation par une base de vecteurs propres
\(f\) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^n\) constituée de vecteurs propres de \(f\). Alors \(\operatorname{Sp}(f)=\{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\}\).
Remarque Caractérisation par similarité à une matrice diagonale
On note \(A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\), \(\mathcal{B}\) étant une base de \(\mathbb{R}^n\). Alors \(f\) est diagonalisable si et seulement s’il existe une matrice \(P\) inversible et une matrice \(D\) diagonale telles que
\(P\) est la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base de vecteurs propres.