Terme
Matrice diagonalisable
- Expression
- matrice carrée est diagonalisable, matrice diagonalisable, matrices diagonalisables
- Adjectif
- diagonalisable
- Termes plus larges
- Matrice carrée
- Cas particulier de
- Matrice carrée
- Condition de définition
- Matrice diagonale, Matrice semblable
Définition
Définition Matrice diagonalisable
Une matrice carrée est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Exemple résolu Vérification de la diagonalisabilité d’une matrice réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Similarité de deux matrices
Deux matrices \(M\) et \(D\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) inversible de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que
Remarque Formulation par conjugaison
\(M\) est diagonalisable s’il existe une matrice \(P\) inversible de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(P^{-1}MP\) soit diagonale.
Remarque Colonnes de la matrice de passage
Les coefficients de la diagonale \(D\) sont les valeurs propres de \(M\) :
Pour tout \(k\in\{1,\ldots,n\}\), la matrice colonne \(C_k\) de \(P\) est un vecteur propre de \(M\) :
Remarque Cas d’une unique valeur propre
Si \(M\) est diagonalisable et possède une seule valeur propre \(\lambda\) dans \(\mathbb{R}\), alors \(D=\lambda I_n\), d’où \(M=P(\lambda I_n)P^{-1}=\lambda I_n\). Si \(M\) possède une seule valeur propre \(\lambda\) dans \(\mathbb{R}\) et si \(M\ne\lambda I_n\), \(M\) n’est pas diagonalisable.