Terme

Limite d’une fonction

Nom: limite, limites
Termes plus larges: Fonction définie au voisinage d’un point
Termes plus spécifiques: Asymptote horizontale d’une courbe, Fonctions équivalentes, Limite infinie d’une fonction, Limite nulle d’une fonction
Conséquences: Asymptote horizontale d’une courbe
Condition de définition de: Fonctions équivalentes, Limite nulle d’une fonction
Cas particuliers: Limite infinie d’une fonction

Définition

Définition Limite finie d’une fonction

Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Une fonction \(f\) admet le réel \(l\) pour limite en \(a\) si la fonction \(f-l\) tend vers \(0\) en \(a\).

Propriété Unicité de la limite finie

Ce réel est alors unique ; on l’appelle limite de la fonction \(f\) en \(a\).

Notation Notations d’une limite finie

\[l=\lim_a f\qquad\text{ou}\qquad l=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}l\]

Remarques Remarques

Remarque Formulation en un point réel

Soit \(a\in\mathbb{R}\).

\[\left(\lim_{a} f=l\right)\ \text{signifie}\ \forall\varepsilon>0,\ \exists h>0\ /\ \forall x\in I,\ |x-a|\le h\Rightarrow |f(x)-l|\le\varepsilon\]

Remarque Formulation en plus l’infini

\[\left(\lim_{+\infty}f=l\right)\ \text{signifie}\ \forall\varepsilon>0,\ \exists A\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\ge A\Rightarrow |f(x)-l|\le\varepsilon\]

Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation \(y=l\).

Remarque Formulation en moins l’infini

\[\left(\lim_{-\infty}f=l\right)\ \text{signifie}\ \forall\varepsilon>0,\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\le B\Rightarrow |f(x)-l|\le\varepsilon\]

Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation \(y=l\).

Exemple résolu Limite finie d’une fonction rationnelle réservé aux comptes

Module : Limites de fonctions