Terme
Fonction réciproque d’une bijection
- Expression
- bijection réciproque, fonction réciproque, application réciproque
- Termes plus larges
- Bijection d’une fonction sur son image
- Termes plus spécifiques
- Dérivée d’une fonction réciproque, Fonction arc cosinus, Fonction arc sinus, Fonction arc tangente, Fonction racine n-ième
- Condition de définition
- Bijection d’une fonction sur son image
- Condition de définition de
- Dérivée d’une fonction réciproque
- Cas particuliers
- Fonction arc cosinus, Fonction arc sinus, Fonction arc tangente, Fonction racine n-ième
Définition
Définition Fonction réciproque d’une bijection
Soit \(f\) une bijection de \(I\) sur \(f(I)\).
Alors tout \(y\) de \(f(I)\) admet un antécédent unique \(x\) de \(I\).
Par définition, la bijection réciproque \(f^{-1}\) associe à \(y\) son unique antécédent \(x\).
Exemple résolu Bijection réciproque de la fonction carrée sur les positifs réservé aux comptes
Module : Fonctions continues strictement monotones
Définition Application réciproque d’un automorphisme
Si \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\), on note \(f^{-1}(y)\) l’unique solution de l’équation \(f(x)=y\).
Cette application de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\) est appelée application réciproque de \(f\).
Remarque Composition avec l’application réciproque
Si \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\), alors par définition, on a :
\[f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}.\]
Module : Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\)
Remarques Remarques
Remarque Existence et unicité d’un antécédent
Soit \(f\) une bijection de \(I\) sur \(f(I)\). On a :
Remarque Caractérisation de la fonction réciproque
Remarque Injectivité d’une bijection
Remarque Compositions avec la fonction réciproque
Remarque Symétrie des représentations graphiques
Dans un repère orthonormal, les représentations graphiques de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y=x\), première bissectrice du repère.