Terme
Développement limité
- Expression
- développement limité, développements limités
- Symbole
- DL
- Termes plus larges
- Fonction de classe \(\mathcal{C}^n\), Fonction négligeable devant une autre
- Termes plus spécifiques
- Forme normalisée d’un développement limité, Formule de Taylor–Young
- Condition de définition
- Fonction de classe \(\mathcal{C}^n\)
- Cas particuliers
- Forme normalisée d’un développement limité, Formule de Taylor–Young
Définition
Définition Développement limité à un ordre donné
On dit que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\), s’il existe des réels \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) tels que, au voisinage de \(x_0\), on ait :
\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\]
Module : Développements limités
Remarques Remarques
Remarque Formulation avec une fonction epsilon
On dit que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\), s’il existe des réels \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) et une fonction \(\varepsilon\) définie au voisinage de \(x_0\), tels que, au voisinage de \(x_0\), on ait :
Remarque Réduction au voisinage de zéro
En posant \(x=h+x_0\), on peut aussi écrire :
\(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\), si et seulement si la fonction \(g\) définie par \(h\mapsto g(h)=f(h+x_0)\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(0\).
Remarque Conservation des termes du polynôme
On ne développera jamais les termes \(a_k(x-x_0)^k\).
Remarque Approximation polynomiale locale
Un développement limité d’une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point.