Module

Développements limités

Domaine: Analyse
Prérequis: Fonctions de classe \(\mathcal{C}^k\) sur un intervalle, Fonction négligeable devant une autre
Notations: Intervalle des fonctions dérivables

Généralités sur les développements limités

Notation Cadre des développements limités

Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\), non réduit à un point, et \(n\) un entier naturel.

Soit \(x_0\in\mathbb{R}\), un élément ou une extrémité de \(I\).

Toutes les fonctions considérées appartiennent à \(\mathcal{C}^n(I,\mathbb{R})\) et sont définies au voisinage de \(x_0\).

Définition Développement limité à un ordre donné

On dit que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\), s’il existe des réels \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) tels que, au voisinage de \(x_0\), on ait :

\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\]

Remarques Remarques

Remarque Formulation avec une fonction epsilon

On dit que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\), s’il existe des réels \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) et une fonction \(\varepsilon\) définie au voisinage de \(x_0\), tels que, au voisinage de \(x_0\), on ait :

\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+(x-x_0)^n\varepsilon(x),\qquad\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\]

Remarque Réduction au voisinage de zéro

En posant \(x=h+x_0\), on peut aussi écrire :

\[f(h+x_0)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n+o(h^n)\]

\(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\), si et seulement si la fonction \(g\) définie par \(h\mapsto g(h)=f(h+x_0)\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(0\).

Remarque Conservation des termes du polynôme

On ne développera jamais les termes \(a_k(x-x_0)^k\).

Remarque Approximation polynomiale locale

Un développement limité d’une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point.

Définition Forme normalisée d’un développement limité

On suppose que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\) :

\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\]

Soit \(p\) le plus petit entier tel que \(a_p\ne0\).

\[f(x)=(x-x_0)^p\left[a_p+a_{p+1}(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^{n-p}+o((x-x_0)^{n-p})\right]\]

Cette écriture s’appelle la forme normalisée d’un développement limité de \(f\) à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\).

Remarques Remarques

Remarque Écriture au voisinage de zéro

La forme normalisée peut aussi s’écrire :

\[f(h+x_0)=h^p\left[a_p+a_{p+1}h+\cdots+a_nh^{n-p}+o(h^{n-p})\right]\]

Remarque Équivalent issu de la forme normalisée

On en déduit alors :

\[f(x)\sim a_p(x-x_0)^p\qquad\text{ou}\qquad f(h+x_0)\sim a_ph^p\]

Remarque Étude du signe

On peut alors étudier le signe de \(f\) au voisinage de \(x_0\).

Exemple résolu Déterminations de développements limités réservé aux comptes

Propriétés des développements limités

Propriété Unicité

Si \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(x_0\), alors celui-ci est unique.

Propriété Troncature

On suppose que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\) :

\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\]

Alors \(f\) admet, au voisinage de \(x_0\), un développement limité à tout ordre \(p\), inférieur ou égal à \(n\) :

\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_p(x-x_0)^p+o((x-x_0)^p)\]

Propriété Développement limité en zéro et parité

Soit \(f\) une fonction admettant un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(0\). Si \(f\) est paire, alors les coefficients d’indice impair du développement limité sont nuls.

Si \(f\) est impaire, alors les coefficients d’indice pair du développement limité sont nuls.

Remarque Précision des développements limités selon la parité

Soit une fonction paire telle que l’on ait :

\[f(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+o(x^4)\]

On peut être plus précis en écrivant :

\[f(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+o(x^5)\]

Soit une fonction impaire telle que l’on ait :

\[f(x)=a_1x+a_3x^3+a_5x^5+o(x^5)\]

On peut être plus précis en écrivant :

\[f(x)=a_1x+a_3x^3+a_5x^5+o(x^6)\]