Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Plan

1. 1 Vecteurs et valeurs propres

   1. 1.1 Éléments propres d’un endomorphisme

      • Valeurs propres d’un endomorphisme

   2. 1.2 Éléments propres d’une matrice carrée

      • Valeurs propres d’une matrice carrée

2. 2 Polynôme caractéristique

   • Polynôme caractéristique

3. 3 Endomorphismes et matrices diagonalisables

   1. 3.1 Définitions

      • Endomorphismes et matrices diagonalisables
        • Endomorphisme diagonalisable
        • Matrice diagonalisable
        • Diagonalisabilité d’un endomorphisme et de sa matrice

   2. 3.2 Caractérisations

      • Endomorphismes et matrices diagonalisables
        • Critère par les dimensions des sous-espaces propres
        • Critère par le polynôme caractéristique

   3. 3.3 Condition suffisante de diagonalisation

      • Endomorphismes et matrices diagonalisables
        • Endomorphisme ayant des valeurs propres simples
        • Matrice carrée ayant des valeurs propres simples

   4. 3.4 Méthode pratique

      • Endomorphismes et matrices diagonalisables
        • Vérification pratique de la diagonalisabilité

4. 4 Applications de la diagonalisation

   1. 4.1 Calcul de la puissance k-ième d’une matrice

      • Endomorphismes et matrices diagonalisables
        • Exemple résolu

   2. 4.2 Système de suites récurrentes

      • Endomorphismes et matrices diagonalisables
        • Exemple résolu

   3. 4.3 Système linéaire d’ordre 1 à coefficients constants

      • Systèmes linéaires d’ordre 1 à coefficients constants

Objectifs

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Objectifs des parcours antérieurs

• Révision des objectifs antérieurs

  Revoir les objectifs des parcours de calcul matriciel et déterminants, d’espace vectoriel réel et d’applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).

  Utiliser · Calcul matriciel et déterminants, L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\), Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\)

Éléments propres d’un endomorphisme et d’une matrice

• Vocabulaire et définitions

  Connaître le vocabulaire et les définitions.

  Connaître, définir · Éléments propres d’un endomorphisme, Éléments propres d’une matrice carrée

• Détermination des éléments propres

  Savoir déterminer les éléments propres.

  Déterminer · Valeurs propres d’un endomorphisme, Valeurs propres d’une matrice carrée

• Vérification d’un vecteur propre

  Savoir vérifier qu’un vecteur est un vecteur propre.

  Reconnaître · Vecteur propre, valeur propre et spectre, Vecteur propre, valeur propre et spectre d’une matrice

• Propriétés des espaces propres

  Connaître les propriétés des espaces propres.

  Connaître · Dimension du sous-espace propre et multiplicité

• Bijection et valeur propre nulle

  Connaître le lien entre bijection et valeur propre 0.

  Connaître · Critères de valeur propre et de non-bijectivité

• Inversibilité et valeur propre nulle

  Connaître le lien entre inversibilité et valeur propre 0.

  Connaître · Caractérisations des valeurs propres d’une matrice

Polynôme caractéristique

• Définition

  Connaître la définition.

  Connaître, définir · Polynôme caractéristique d’un endomorphisme et d’une matrice

• Polynôme caractéristique et valeur propre

  Connaître le lien entre polynôme caractéristique et valeur propre.

  Connaître · Valeurs propres et racines du polynôme caractéristique

• Ordre de multiplicité d’une valeur propre

  Savoir déterminer l’ordre de multiplicité d’une valeur propre.

  Déterminer · Ordre de multiplicité d’une valeur propre

• Multiplicité et dimension de l’espace propre

  Connaître le lien entre l’ordre de multiplicité d’une valeur propre et la dimension de l’espace propre associé.

  Connaître · Dimension du sous-espace propre et multiplicité

• Dimension associée à une valeur propre simple

  Connaître la dimension de l’espace propre associé à une valeur propre simple.

  Connaître · Dimension du sous-espace propre et multiplicité

Endomorphismes et matrices diagonalisables

• Définitions, caractérisations et condition suffisante

  Connaître les définitions, les caractérisations, la condition suffisante (qui n’est pas nécessaire !).

  Connaître, définir · Définitions, Diagonalisabilité des matrices, Caractérisations, Condition suffisante de diagonalisation

• Méthodes d’étude de la diagonalisabilité

  Connaître les différentes méthodes pour étudier si un endomorphisme (ou une matrice) est diagonalisable.

  Connaître, étudier · Vérification pratique de la diagonalisabilité

Applications de la réduction

• Puissances d’une matrice diagonalisable

  Calculer des puissances d’une matrice diagonalisable.

  Calculer · Exemple résolu

• Système récurrent linéaire homogène

  Résoudre un système récurrent linéaire homogène \(X_{n+1}=AX_n\).

  Appliquer · Exemple résolu