Module
Calcul intégral
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Intégrale et aire, Primitives et intégrales
Intégrale et primitive
Théorème Primitive s’annulant en un point
Soient \(f\) une fonction continue sur \(I\) et \(a\) un réel de \(I\).
La fonction définie par \(x\longmapsto\int_a^x f(t)\,dt\) est l’unique primitive de \(f\) sur \(I\) s’annulant en \(a\).
Corollaire Existence et évaluation des primitives
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\). Alors \(f\) admet des primitives sur \(I\).
De plus, si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur \(I\), alors \(F-G\) est une constante sur \(I\).
Si \(G\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), on a :
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\), alors on a :
Exemple résolu Étude d’une intégrale à bornes variables réservé aux comptes
Remarque Dérivée d’une intégrale à bornes variables
Remarque très utile dans certains exercices.
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(J\) à valeurs dans un intervalle \(I\).
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\). Donc la fonction \(f\) admet des primitives sur \(I\).
On montre que la fonction définie par \(x\longmapsto\varphi(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt\) est définie et dérivable sur \(J\) avec :
Démonstration Démonstration par une primitive de l’intégrande
\(f\) est définie et continue sur \(I\) donc \(f\) admet des primitives sur \(I\). Soit \(a\) un réel de \(I\).
La fonction \(F\) définie sur \(I\) par \(x\longmapsto\int_a^x f(t)\,dt\) est l’unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui s’annule en \(a\).
Par définition, \(F\) est dérivable sur \(I\) avec \(F'(x)=f(x)\). On a \(\forall x\in J,\ \varphi(x)=F(v(x))-F(u(x))\).
\(\varphi\) est donc dérivable sur \(J\) comme différence de fonctions composées dérivables et on a :
Intégration par parties
Démonstration Obtention de la formule d’intégration par parties
Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \(I\) telles que \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \(I\), alors la règle de dérivation d’un produit s’écrit :
On intègre cette relation :
Or une primitive de \(\left(u(x)v(x)\right)'\) est \(u(x)v(x)\), on obtient la formule d’intégration par parties.
Propriété Formule d’intégration par parties
Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\), alors on a :
Exemple résolu Intégrale du logarithme népérien entre \(1\) et \(t\) réservé aux comptes
Exemple résolu Intégrale de \(x\ln(x+1)\) réservé aux comptes
Exemple résolu Intégrale d’un polynôme multiplié par une exponentielle réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Primitives de \(P(x)\mathrm e^{ax}\)
Les primitives de la forme \(\int P(x)\mathrm e^{ax}\,dx\) peuvent se calculer par intégration par parties.
On dérive \(P(x)\) et on intègre \(\mathrm e^{ax}\). On intègre par parties autant de fois que nécessaire pour obtenir une constante à partir du polynôme par dérivations successives.
On peut aussi chercher une primitive sous la forme \(F(x)=Q(x)\mathrm e^{ax}\), \(Q\) étant un polynôme de même degré que \(P\). Par identification de \(F'(x)\) avec \(P(x)\mathrm e^{ax}\), on trouve \(Q(x)\).
Remarque Primitives de \(P(x)\ln x\)
Les primitives de la forme \(\int P(x)\ln x\,dx\) se calculent par intégration par parties.
On dérive \(\ln x\) et on intègre \(P(x)\).
Remarque Formule d’intégration par parties pour les primitives
On peut aussi écrire :
Remarque Primitive de \(\ln x\)
On pourra retenir que la fonction \(x\longmapsto x\ln x-x\) est une primitive de \(x\longmapsto\ln x\).
Changement de variable
Démonstration Écriture du changement de variable
Soient \(g\) une fonction continue sur \(I\), et \(f\) une fonction dérivable sur \(J\) telle que \(f(J)\subset I\) et \(f'\) continue sur \(J\).
On cherche à calculer \(\int_{f(t_0)}^{f(t_1)}g(u)\,du\), en considérant, par exemple, \(u=f(t)\).
Grâce à la notation de Leibniz, on a :
Propriété Formule de changement de variable
Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles de \(\mathbb R\).
Soient \(g\) une fonction continue sur \(I\), et \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(J\) telle que \(f(J)\subset I\). On a :
Exemple résolu Intégrale de \(\sqrt{1-x^2}\) réservé aux comptes
Exemple résolu Intégrale de l’inverse du sinus réservé aux comptes
Exemple résolu Intégrales de puissances de cosinus et de sinus réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Cas d’un exposant impair
Pour calculer \(\int\cos^px\sin^qx\,dx\), si \(p\) (ou \(q\)) est impair, on effectue un changement de variable.
Si \(q\) est impair, \(q=2n+1\), on écrit alors \(\sin^qt\cos^pt=\sin^{2n}t\cos^pt\sin t\) et on effectue le changement de variable \(u=\cos t\).
Si \(p\) est impair, \(p=2n+1\), on écrit alors \(\sin^qt\cos^pt=\sin^qt\cos^{2n}t\cos t\) et on effectue le changement de variable \(v=\sin t\).
Remarque Cas de deux exposants pairs
Si \(p\) et \(q\) sont pairs, il faut linéariser l’expression.
Exemple résolu Intégrale comportant une racine carrée réservé aux comptes
Exemple résolu Primitives de l’inverse de \(x^2+a^2\) réservé aux comptes
Exemple résolu Primitives de l’inverse de \(\sqrt{a^2-x^2}\) réservé aux comptes
Exemple résolu Intégrale d’une fraction rationnelle réservé aux comptes
Exemple résolu Intégrale d’une fraction avec racine réservé aux comptes
Exemple résolu Décomposition et intégrale d’une fraction rationnelle réservé aux comptes
Remarque Formule de changement de variable pour les primitives
On peut aussi écrire :
Intégrales de fonctions périodiques, paires et impaires
Propriété Intégrale d’une fonction périodique
Si \(f\) est continue sur \(\mathbb R\), et \(T\)-périodique alors on a :
Propriété Intégrales de fonctions paires et impaires
Soit \(f\) une fonction continue sur \([-a,a]\) (\(a>0\)).
Si \(f\) est paire, alors :
Si \(f\) est impaire, alors :
Exemple résolu Intégrales de fonctions impaire et paire réservé aux comptes
Intégration par partie et changement de variable pour les intégrales impropres
Mise en garde Absence de théorème spécifique au programme
Aucun théorème spécifique ne figure au programme concernant ces notions.
Méthode Réduction à une intégrale sur un segment
On se ramènera toujours à une intégrale sur un segment puis on passera à la limite une fois l’intégration par partie effectuée ou le changement de variable effectué afin d’utiliser la définition d’une intégrale convergente.
Explication Intégration par partie après l’échec de la convergence absolue
L’intégration par partie est un bon outil pour déterminer la nature d’une intégrale pour laquelle l’étude de la convergence absolue a échoué.
Exemple résolu Nature et valeur d’une intégrale avec logarithme réservé aux comptes
Exemple résolu Nature de l’intégrale du sinus sur \(t\) réservé aux comptes
Remarque Dérivée de l’intégrale à borne supérieure variable
La fonction définie par \(x\longmapsto\int_a^x f(t)\,dt\) est dérivable sur \(I\) et on a :
La fonction définie par \(x\longmapsto\int_a^x f(t)\,dt\) est donc de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\).