Module
Série géométrique et séries dérivées
- Domaine
- Analyse
Série géométrique et séries dérivées
Définition Série géométrique et séries dérivées
Soit \(q\in \mathbb{R}\).
La série \(\sum_{n=0}^{+\infty}q^n\) s’appelle la série géométrique de raison \(q\).
Les séries \(\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}\) et \(\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)q^{n-2}\) sont appelées séries dérivées première et seconde de la série géométrique \(\sum_{n=0}^{+\infty}q^n\).
Théorème Convergence de la série géométrique
Soit \(q\in\mathbb{R}\).
La série \(\sum_{n=0}^{+\infty}q^n\) converge si et seulement si \(|q|<1\).
Théorème Somme de la série géométrique
Si \(|q|<1\), alors
et, pour tout \(a\in\mathbb{N}\),
Théorème Convergence et somme des séries dérivées
Soit \(q\in\mathbb{R}\).
La série \(\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}\) converge si et seulement si \(|q|<1\).
La série \(\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)q^{n-2}\) converge si et seulement si \(|q|<1\).
Si \(|q|<1\), alors on a :
Remarques Remarques
Remarque Divergence de la série dérivée première
La série \(\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}\) diverge si et seulement si \(|q|\geq1\).
Remarque Divergence de la série dérivée seconde
La série \(\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)q^{n-2}\) diverge si et seulement si \(|q|\geq1\).
Exemple résolu Étude de trois séries de référence réservé aux comptes
Séries de référence complémentaires
Théorème Divergence de la série harmonique
La série \(\sum_{n\geq1}\frac{1}{n}\) diverge. Cette série est appelée série harmonique.
Théorème Convergence et somme de la série exponentielle
Pour tout réel \(x\), la série \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\) converge et on a :
Cette série est appelée série exponentielle.
Exemple résolu Étude d’une série exponentielle réservé aux comptes
Remarque Divergence de la série géométrique
La série \(\sum_{n=0}^{+\infty}q^n\) diverge si et seulement si \(|q|\geq1\).