Module

Généralités sur les séries numériques

Domaine: Analyse
Prérequis: Généralités sur les suites, Suites convergentes

Définitions

Définition Série numérique et somme partielle

Soit \((u_n)_{n\geq n_0}\) une suite réelle.

On appelle série de terme général \(u_n\), notée \(\sum_{n\geq n_0}u_n\), la suite \((S_n)\) définie par

\[\forall n\in[n_0,+\infty[,\qquad S_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k\]

Le terme \(S_n\) s’appelle la somme partielle de rang \(n\) de la série.

Définition Convergence et somme d’une série

Soient \((u_n)_{n\geq n_0}\) une suite réelle et \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) la série de terme général \(u_n\). On dit que la série converge lorsque la suite \((S_n)\) des sommes partielles converge.

Dans ce cas, la limite de cette suite \((S_n)\) est notée \(\sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k\) et est appelée la somme de la série de terme général \(u_n\).

Définition Divergence d’une série

Dans le cas contraire, on dit que la série diverge.

Définition Reste d’une série convergente

Soit \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) une série convergente. On appelle reste de rang \(n\) le réel \(R_n\) défini par

\[R_n=\sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k-\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\]

Remarques Remarques

Remarque Limite des sommes partielles et du reste

Soit \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) une série convergente de somme \(S\).

\[\forall n\in[n_0,+\infty[,\qquad S_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k\qquad\text{et}\qquad S=\sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k\]

\[S=\lim_{n\to+\infty}S_n\qquad\text{ou}\qquad \sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=n_0}^{n}u_k\right)\]

\[R_n=S-S_n\qquad\text{donc}\qquad \lim_{n\to+\infty}R_n=0\]

Remarque Sens de la nature d’une série

Étudier la nature d’une série, c’est déterminer si elle est convergente ou divergente.

L’expression \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) diverge ne doit pas prêter à confusion : elle ne veut pas dire que la suite des sommes partielles diverge vers \(+\infty\), mais simplement qu’elle diverge.

En effet, la série \(\sum(-1)^n\) diverge et ses sommes partielles valent \(0\) ou \(1\).

Remarque Absence de somme pour une série divergente

Si \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) diverge, la notion de somme n’existe pas.

Remarque Distinction entre série et somme

Attention, ne pas confondre la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\), qui est en fait une suite, et la somme de la série, qui est en fait un réel qui existe lorsque la série converge.

Propriétés

Propriété Conservation de la nature après modification des premiers termes

Les séries \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) et \(\sum_{n\geq n_1}u_n\) sont de même nature.

Autrement dit, la nature d’une série ne dépend pas de ses premiers termes.

Remarque Effet sur la somme d’une série convergente

La nature de la série n’est pas modifiée mais sa somme l’est en cas de convergence.

\[n_1>n_0\Longrightarrow\sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k=\sum_{k=n_0}^{n_1-1}u_k+\sum_{k=n_1}^{+\infty}u_k\]

Propriété Condition nécessaire de convergence

Si la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) converge, alors \(\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Autrement dit, si \(\lim_{n\to+\infty}u_n\neq0\), alors la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) diverge.

On dit alors que la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) diverge grossièrement.

Remarques Remarques

Remarque Réciproque de la condition nécessaire

La réciproque est fausse. En effet, la suite \(\left(\frac{1}{n}\right)\) converge mais la série \(\sum\frac{1}{n}\) diverge.

Remarque Convergence d’une suite et d’une série

Ne pas confondre la convergence de la suite \((u_n)\) et celle de la série \(\sum u_n\).

Par exemple, on considère \(u_n=1+\frac{1}{n}\). La suite \((u_n)_{n>0}\) converge vers \(1\), et la série \(\sum\left(1+\frac{1}{n}\right)\) diverge grossièrement.

Exemple résolu Séries divergentes grossièrement réservé aux comptes

Méthodes d’étude de la nature d’une série

Méthode Étude de la nature d’une série

Pour étudier la nature d’une série, on peut suivre les étapes suivantes.

Vérifier si la suite \((u_n)_{n\geq n_0}\) ne converge pas vers \(0\) : la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) diverge.

Sinon, la suite \((u_n)_{n\geq n_0}\) converge vers \(0\), ou l’étude de sa limite lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) est trop longue.

On peut essayer de se ramener à une série de référence : on peut alors conclure quant à la convergence ou à la valeur de la somme, le cas échéant.

On peut essayer de considérer la suite des sommes partielles \(S_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k\). Si on sait la calculer, on peut conclure quant à la convergence ou à la valeur de la somme, le cas échéant. Si la suite \((S_n)\) converge, alors la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) converge et \(\sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}S_n\).

Si la série est à termes positifs, on peut essayer d’appliquer les critères des séries à termes positifs.

Si la série n’est pas à termes positifs, on peut essayer d’étudier la série \(\sum_{n\geq n_0}\lvert u_n\rvert\). Dans ce cas, on se ramène au cas des séries à termes positifs.

Si la série \(\sum_{n\geq n_0}\lvert u_n\rvert\) converge alors la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) converge absolument. Si la série \(\sum_{n\geq n_0}\lvert u_n\rvert\) diverge, on peut se ramener au cas d’une série de référence en considérant \(S_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k\).

Dans ce cas, on sera guidé comme dans l’étude de la convergence et de la somme d’une série alternée.

Remarques Remarques

Remarque Convergence et limite du terme général

Si la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) converge, la suite \((u_n)_{n\geq n_0}\) converge vers \(0\), mais on ne peut pas forcément calculer la somme de la série.

Remarque Calcul de la somme sans série de référence

Si la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) converge et si sa somme est demandée, on revient à l’étude des sommes partielles si l’on n’a pas de série de référence.