Module
Séries de Fourier
- Domaine
- Analyse
- Sous-modules
- Convergence des séries de Fourier, Formule de Parseval
- Prérequis
- Coefficients de Fourier
Série et sommes de Fourier
Définition Série de Fourier et sommes associées
Soient \(f\in \mathcal C_{mT}(\mathbb R)\) et \(\omega=\frac{2\pi}{T}\).
Pour tout réel \(x\), la série de Fourier de la fonction \(f\) en \(x\) est :
\[a_0(f)+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n(f)\cos(n\omega x)+b_n(f)\sin(n\omega x)\right)\]
On appelle somme partielle de rang \(n\) de la série de Fourier de la fonction \(f\), la fonction définie pour tout réel \(x\) par :
\[\forall x\in\mathbb R,\quad S_n(f)(x)=a_0(f)+\sum_{k=1}^n\left(a_k(f)\cos(k\omega x)+b_k(f)\sin(k\omega x)\right)\]
Si la série de Fourier de la fonction \(f\) en \(x\) est convergente pour tout réel \(x\), on appelle somme de la série de Fourier de la fonction \(f\), la fonction \(S(f)\) définie par :
\[\forall x\in\mathbb R,\quad S(f)(x)=a_0(f)+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n(f)\cos(n\omega x)+b_n(f)\sin(n\omega x)\right)\]
Exemple résolu Écriture des séries de Fourier à partir des coefficients calculés réservé aux comptes
Remarque Somme comme limite des sommes partielles
En cas de convergence, on a :