Module
Racines d’un polynôme
Définition
Définition Racine d’un polynôme
Soit \(P\in\mathbb{R}[X]\). Soit \(a\in\mathbb{R}\).
On dit que \(a\) est une racine (ou zéro) de \(P\) si \(a\) annule la fonction polynomiale associée à \(P\), c’est-à-dire si \(P(a)=0\).
Exemple résolu Détermination d’une racine d’un polynôme réservé aux comptes
Propriétés
Caractérisation Racine et divisibilité
Soit \(P\in\mathbb{R}[X]\). Soit \(a\in\mathbb{R}\).
\(a\) est une racine de \(P\) si et seulement si \(X-a\) divise \(P\).
Propriété Facteur associé à des racines distinctes
Soit \(P\in\mathbb{R}[X]\). Soit \(n\in\mathbb{N}^*\).
Si \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\) sont \(n\) racines distinctes de \(P\), alors \(P\) est divisible par \((X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n)\).
Propriété Nombre de racines distinctes
Un polynôme non nul de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines distinctes.
Remarques Remarques
Remarque Caractérisation du polynôme nul
Si un polynôme \(A\) de \(\mathbb{R}_n[X]\) admet au moins \(n+1\) racines distinctes alors \(A\) est le polynôme nul.
Exemple résolu Détermination des racines de deux polynômes réservé aux comptes
Racines multiples
Définition Racine d’ordre donné
Soient \(P\) un polynôme non nul, \(a\in\mathbb{R}\), et \(k\in\mathbb{N}^*\).
On dit que \(a\) est une racine d’ordre \(k\) de \(P\) lorsqu’il existe un polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}[X]\) tel que \(P=(X-a)^kQ\) et \(Q(a)\ne0\).
L’entier \(k\) est appelé ordre de multiplicité de la racine \(a\).
Si \(k=1\), \(a\) est une racine simple de \(P\). Si \(k=2\), \(a\) est une racine double de \(P\).
Remarques Remarques
Remarque Ordre de multiplicité et degré
\(k\leq\deg(P)\).
Factorisation
Méthode Factorisation à partir des racines
Exemples de factorisation.
Exemple résolu Mise en évidence d’une racine double réservé aux comptes
Exemple résolu Factorisation de polynômes réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Décomposition d’un polynôme réel
Tout polynôme non nul de \(\mathbb{R}[X]\) est le produit de son coefficient dominant, de polynômes unitaires de degré \(1\), et/ou, de polynômes unitaires de degré \(2\) à discriminant strictement négatif.
Remarque Recherche de racines pour factoriser
Lorsqu’on doit factoriser un polynôme \(P\) (ou déterminer ses racines) :
on cherche des racines évidentes \(\{-2,-1,0,1,2\}\) ;
on factorise \(P\) par \(X-a\) si \(a\) est une racine (ou par \((X-a)(X-b)\) si \(a\) et \(b\) sont deux racines évidentes) ;
une fois ramené à un (ou des) polynôme(s) de degré \(2\), on utilise la méthode classique du discriminant.
Remarques Remarques
Remarque Racines du polynôme nul
Le polynôme nul admet une infinité de racines, tout élément de \(\mathbb{R}\) est racine du polynôme nul.