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Produit de matrices carrées

\[\forall(A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\right)^2,\quad AB\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\]

Dans ce cas, les produits matriciels \(AB\) et \(BA\) existent toujours mais, en général, ils ne sont pas égaux.

On dit que \(A\) et \(B\) commutent si on a \(AB=BA\).

Le produit matriciel est associatif dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et distributif par rapport à l’addition :

\[\forall(A,B,C)\in\left(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\right)^3,\qquad(AB)C=A(BC)\]

\[A(B+C)=AB+AC\]

\[(A+B)C=AC+BC\]

Le produit matriciel admet, dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), un élément neutre noté \(I_n\) :

\[\forall A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\qquad I_nA=AI_n=A\]

Toute matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) commute avec \(I_n\).

Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure).

Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.

L’égalité \(AB=O\) n’implique pas \(A=O\) ou \(B=O\).

\[A^0=I_n\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\left[\!\left[1,+\infty\right]\!\right],\quad A^n=\underbrace{A\cdots A}_{n\ \text{termes}}\]

On a :

\[\forall n\in\mathbb{N},\quad A^{n+1}=AA^n=A^nA\]

\[\forall(n,p)\in\mathbb{N}^2,\quad A^nA^p=A^{n+p},\qquad\left(A^n\right)^p=A^{np}\]

D’une manière générale, on a :

\[\forall(A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\right)^2,\ \forall n\in\mathbb{N},\quad(AB)^n\ne A^nB^n\]

Soit \((A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\right)^2\). On suppose que \(AB=BA\).

\[\forall n\in\mathbb{N},\qquad(AB)^n=A^nB^n\]

\[\forall n\in\mathbb{N},\qquad(A+B)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}A^{n-k}B^k=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}A^kB^{n-k}\]

\[A^2-B^2=(A+B)(A-B)\]