Module

Plans de l’espace

Domaine: Géométrie de l’espace
Prérequis: Vecteurs de l’espace, Produit scalaire de l’espace

Plans

Définition Représentation paramétrique d’un plan

Soit \((P)\) le plan passant par le point \(A(x_0,y_0,z_0)\) et dirigé par les vecteurs non colinéaires \(\vec u_1\begin{pmatrix}\alpha_1\\\beta_1\\\gamma_1\end{pmatrix}\) et \(\vec u_2\begin{pmatrix}\alpha_2\\\beta_2\\\gamma_2\end{pmatrix}\).

Le plan \((P)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[\overrightarrow{AM}=\lambda_1\vec u_1+\lambda_2\vec u_2,\quad(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2\]

On en déduit les coordonnées du point \(M\) par rapport au repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) :

\[\begin{cases}x=x_0+\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2\\y=y_0+\lambda_1\beta_1+\lambda_2\beta_2\\z=z_0+\lambda_1\gamma_1+\lambda_2\gamma_2\end{cases},\quad(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2\]

Ces formules constituent une représentation paramétrique du plan \((P)\).

Remarque Plan défini par trois points

Une représentation paramétrique du plan \((P)\) défini par trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés est donnée par :

\[M\in(P)\Longleftrightarrow\exists(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2,\quad\overrightarrow{AM}=\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{AC}\]

Exercice Reconnaissance d’une représentation paramétrique de plan réservé aux comptes

Exercice Plan défini par trois points réservé aux comptes

Définition Vecteur normal d’un plan

Soit \((P)\) un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\).

On appelle vecteur normal à \((P)\) tout vecteur non nul orthogonal à \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\).

Figure Plan dirigé et vecteur normal

Figure associée à la définition du vecteur normal d’un plan.

Exercice Vecteurs normaux de plans donnés réservé aux comptes

Propriété Caractérisation d’un plan par un vecteur normal

Soient \((P)\) un plan passant par un point \(A\) et \(\vec n\) un vecteur normal à \((P)\). Le plan \((P)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\]

Caractérisation Équation cartésienne d’un plan

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\mathcal R\).

Tout plan \((P)\) admet, dans \(\mathcal R\), une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\). Le vecteur \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est alors un vecteur normal à \((P)\).

Réciproquement, toute équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\) est une équation cartésienne d’un plan, et le vecteur \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((P)\).

Exercice Équation cartésienne d’un plan défini par trois points réservé aux comptes

Exercice Représentation paramétrique d’un plan défini par son équation réservé aux comptes

Exercice Position relative de deux plans à partir de leurs équations réservé aux comptes