Module

Matrices inversibles

Domaine: Algèbre
Sous-modules: Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
Prérequis: Produit de matrices carrées
Notations: Espaces de matrices à coefficients réels, Ensemble des matrices inversibles d’ordre \(n\)

Matrices inversibles

Définition Matrice inversible et matrice inverse

Une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est inversible s’il existe une matrice \(B\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que l’on ait \(AB=BA=I_n\).

Lorsque \(B\) existe, \(B\) est unique et est appelée inverse de \(A\).

L’inverse de \(A\) est notée \(A^{-1}\).

Remarques Remarques

Remarque Produit avec l’inverse

On a donc \(AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\).

Remarque Vérification d’une seule égalité

Bien que le produit matriciel ne soit pas commutatif dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on admet que l’une des deux égalités \(AB=I_n\) ou \(BA=I_n\) implique l’autre.

Autrement dit, si \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(AB=I_n\) alors les matrices \(A\) et \(B\) sont inversibles et inverses l’une de l’autre (et on a : \(BA=I_n\)).

L’intérêt de cette remarque est de ne pas avoir à vérifier \(AB=I_n\) et \(BA=I_n\), une seule égalité suffit mais il est indispensable d’avoir des matrices carrées.

En effet,

\[A=\begin{pmatrix}3&2&-1\\1&2&-2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\\1&1\end{pmatrix}\qquad AB=I_2\quad\text{mais}\quad BA=\begin{pmatrix}-1&-2&2\\5&6&-5\\4&4&-3\end{pmatrix}\ne I_3\]

Remarque Notation de l’ensemble des matrices inversibles

On note \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices inversibles d’ordre \(n\).

Exercice Matrices inverses de trois par trois réservé aux comptes

Exercice Inverse d’une matrice nilpotente décalée réservé aux comptes

Exercice Inverse d’une matrice par combinaison linéaire réservé aux comptes

Propriété Règles de calcul avec une matrice inversible

Soient \((A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\right)^2\) et \(C\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\).

\[AC=B\iff A=BC^{-1}\qquad\qquad CA=B\iff A=C^{-1}B\]

\[AC=BC\iff A=B\qquad\qquad CA=CB\iff A=B\]

Remarque Absence de simplification sans inversibilité

Si \(C\) n’est pas inversible, tout peut arriver !

En effet, si

\[A=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad C=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\quad\text{alors}\quad AC=BC=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\quad\text{mais}\quad A\ne B\]

Exercice Produit nul de deux matrices non nulles réservé aux comptes

Exercice Matrices reliées par conjugaison réservé aux comptes

Propriété Inverse et produit de matrices inversibles

Soient \(A\) et \(B\) deux matrices inversibles de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

\[A^{-1}\ \text{est inversible et}\ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A\]

\[AB\ \text{est inversible et}\ \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]