Module
Lois usuelles de variables aléatoires
- Domaine
- Probabilités
Loi certaine
Définition Variable aléatoire certaine
On dit qu’une variable aléatoire \(X\) est certaine si elle ne prend qu’une seule valeur : il existe un réel \(a\) tel que :
Corollaire Caractéristiques d’une loi certaine
Exemple résolu Tirage de boules portant le même numéro réservé aux comptes
Loi uniforme sur un intervalle initial d’entiers
Définition Loi uniforme sur \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\)
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On dit qu’une variable aléatoire réelle \(X\) suit la loi uniforme sur \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\) lorsque :
Exemple résolu Tirage uniforme d’un objet numéroté réservé aux comptes
Théorème Espérance et variance d’une loi uniforme sur \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\)
Si \(X\) suit la loi uniforme sur \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), alors :
Exemple résolu Tirage d’un jeton dans un jeu de loto réservé aux comptes
Généralisation et simulation de la loi uniforme
Méthode Simulation d’une loi uniforme en Python
Dans la bibliothèque \(\texttt{random}\) se trouvent les fonctions suivantes.
\(\texttt{random()}\) renvoie un réel aléatoire de \(]0,1[\).
\(\texttt{randint(n,p)}\) renvoie un entier aléatoire de \(\left[\!\left[n,p\right]\!\right]\), sachant que \(n\) et \(p\) sont deux entiers avec \(n\leq p\).
Exemple résolu Simulation et comparaison avec la loi uniforme réservé aux comptes
Remarque Loi uniforme sur un intervalle quelconque d’entiers
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs tels que \(a<b\). Plus généralement, on dit que \(X\) suit la loi uniforme sur \(\left[\!\left[a,b\right]\!\right]\), notée \(X\hookrightarrow\mathcal{U}(\left[\!\left[a,b\right]\!\right])\), lorsque :