Module

Équations du second degré à coefficients réels dans les complexes

Domaine: Algèbre
Prérequis: Nombres complexes, Racine carrée, Polynômes du second degré

Racines carrées dans les complexes

Définition Racines carrées d’un réel dans les complexes

Soit \(a\) un réel.

Les solutions dans \(\mathbb C\) de l’équation \(z^2=a\) sont appelées racines carrées de \(a\) dans \(\mathbb C\).

Propriété Racines carrées d’un réel non nul

Tout nombre réel non nul \(a\) admet deux racines carrées dans \(\mathbb C\).

Si \(a>0\), ce sont les nombres réels \(\sqrt a\) et \(-\sqrt a\).

Si \(a<0\), ce sont les nombres complexes \(i\sqrt{-a}\) et \(-i\sqrt{-a}\).

Exemple résolu Racines carrées de réels réservé aux comptes

Équations du second degré dans les complexes

Propriété Résolution d’une équation du second degré

Soient trois réels \(a\), \(b\), \(c\) avec \(a\) non nul.

Soit l’équation du second degré \((E)\colon az^2+bz+c=0\), d’inconnue \(z\), \(z\in\mathbb C\), de discriminant \(\Delta=b^2-4ac\).

Si \(\Delta>0\), \((E)\) admet deux racines distinctes : \(z_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\), \(z_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\).

Si \(\Delta=0\), \((E)\) admet une racine double \(z_0=\frac{-b}{2a}\).

Si \(\Delta<0\), \((E)\) admet deux racines complexes conjuguées : \(z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\), \(z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

Remarques Remarques

Remarque Forme canonique d’un polynôme du second degré

Lors de la preuve, on fait apparaître le début du développement d’un carré :

\[az^2+bz+c=a\left[z^2+\frac ba z+\frac ca\right]=a\left[\left(z+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca\right]=a\left(z+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c\]

Cette écriture est appelée forme canonique de \(az^2+bz+c\).

Exemple résolu Forme canonique de polynômes du second degré réservé aux comptes

Remarque Factorisation par les racines

Si on note \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation \(az^2+bz+c=0\) (éventuellement confondues), alors pour tout nombre complexe \(z\), on a :

\[az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)\]

Exemple résolu Résolution d’équations du second degré réservé aux comptes