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Polynômes du second degré
- Domaine
- Algèbre
Polynômes du second degré
Définition Polynôme du second degré et discriminant
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels avec \(a\ne0\), et \(P\) le trinôme défini par \(P(x)=ax^2+bx+c\).
On appelle discriminant de \(P\) le nombre \(\Delta=b^2-4ac\).
Tableau Discriminant, racines, factorisation et signe d’un polynôme du second degré
Discriminant, racines, factorisation et signe de \(P(x)\).
| \(\Delta\) | Racines (ou zéros) de \(P\) | Factorisation de \(P\) | Signe de \(P(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(\Delta<0\) | \(P\) n’a pas de racine dans \(\mathbb R\). | \(P\) ne se factorise pas dans \(\mathbb R\). | |
| \(\Delta=0\) | \(P\) a une racine double : \(x_0=-\frac{b}{2a}\). | \(P(x)=a(x-x_0)^2\) | |
| \(\Delta>0\) | \(P\) a deux racines distinctes, \(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\), notées \(x_1\) et \(x_2\) avec \(x_1<x_2\). | \(P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) |
Propriété Somme et produit des racines
Si \(P\) a deux racines, \(x_1\) et \(x_2\) (éventuellement confondues), on a :
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a}\qquad\text{et}\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}\]
Exemple résolu Résolution d’équations et d’inéquations du second degré réservé aux comptes
Représentation graphique des polynômes du second degré
Propriété Représentation graphique d’un polynôme du second degré
La représentation graphique de \(f:x\mapsto ax^2+bx+c\) est la parabole d’équation \(y=ax^2+bx+c\).
Son sommet a pour coordonnées \((x_0,f(x_0))\).
Tableau Variations graphiques selon le coefficient et le discriminant
| \(\Delta<0\) | \(\Delta=0\) | \(\Delta>0\) | |
|---|---|---|---|
| \(a>0\) | |||
| \(a<0\) |
Exemple résolu Construction de paraboles dans un repère orthonormal réservé aux comptes