Module
Racine carrée
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Puissances, Inégalités dans les réels
Définition et propriétés de la racine carrée
Définition Racine carrée d’un réel positif ou nul
Soit \(a\) un réel positif ou nul. Il existe un unique réel positif ou nul \(r\) tel que l’on ait : \(a=r^2\).
On l’appelle la racine carrée de \(a\) et on la note \(\sqrt{a}\).
Propriété Solutions d’une équation carrée
Si \(a\ge0\), l’équation \(x^2=a\) possède deux solutions \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\) (confondues si \(a=0\)).
Si \(a<0\), l’équation \(x^2=a\) n’a aucune solution.
Autre formulation : si \(a\ge0\), on a :
\[x^2=a\Longleftrightarrow x=\sqrt{a}\text{ ou }x=-\sqrt{a}\]
Propriété Calcul sur les racines carrées
Pour tous réels positifs \(a\) et \(b\),
\[\sqrt{a^2}=a\]
\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\]
et si \(b\ne0\),
\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\]
Mais en général, on a : \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Exemple résolu Calcul de racines carrées réservé aux comptes
Remarque Racine carrée d’un carré
Le réel \(\sqrt{x^2}\) est défini pour tout réel \(x\) :