Déterminant et inversibilité

Théorème Inversibilité et déterminant non nul

Admis. Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Exercice Inversibilité et inverse d’une matrice d’ordre trois réservé aux comptes

Exercice Inversibilité de \(A-\lambda I\) et système associé réservé aux comptes

Corollaire Conséquences pour les systèmes linéaires

Soient \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(X\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

On considère un système linéaire \((S)\) d’écriture matricielle \(AX=B\), d’inconnue \(X\).

Si \(\operatorname{det}A\ne0\), alors \(A\) est inversible et \((S)\) est de Cramer : \(AX=B\iff X=A^{-1}B\).

Si \(\operatorname{det}A=0\), alors \((S)\) admet soit aucune solution soit une infinité de solutions.

On considère un système linéaire homogène \((H)\) d’écriture matricielle \(AX=O_{n,1}\).

Si \(\operatorname{det}A\ne0\), alors \(A\) est inversible et \((H)\) est de Cramer : \(AX=O_{n,1}\iff X=O_{n,1}\).

Si \(\operatorname{det}A=0\), alors \((H)\) admet une infinité de solutions.

Définition Cofacteur et comatrice

Soit \(A=(a_{ij})\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) avec \(n\in\left[2,+\infty\right[\).

On appelle cofacteur de l’élément \(a_{ij}\), le déterminant \((-1)^{i+j}\Delta_{ij}\) d’ordre \(n-1\), où \(\Delta_{ij}\) est le mineur de \(a_{ij}\).

On appelle comatrice de \(A\), notée \(\operatorname{Com}(A)\), la matrice des cofacteurs de \(A\).

Exemple résolu Comatrice d’une matrice d’ordre deux réservé aux comptes

Exemple résolu Comatrice d’une matrice d’ordre trois réservé aux comptes

Théorème Inverse par la comatrice

Admis. Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Si \(A\) est inversible alors on a :

Exercice Inverse d’une matrice d’ordre trois par la comatrice réservé aux comptes