Module

Comparaison des suites

Domaine: Analyse
Prérequis: Suites convergentes

Suite négligeable devant une autre

Définition Négligeabilité d’une suite devant une autre

Soit \((u_n)\) une suite réelle.

Soit \((v_n)\) une suite de nombres réels non nuls.

On dit que \((u_n)\) est négligeable devant \((v_n)\) s’il existe une suite \((\varepsilon_n)\) convergeant vers \(0\) telle que l’on ait, à partir d’un certain rang, \(u_n=\varepsilon_nv_n\).

\[u_n=o_{+\infty}(v_n)\]

Caractérisation Caractérisation par le quotient

\[u_n=o_{+\infty}(v_n)\Longleftrightarrow\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=0\]

Remarque Négligeabilité devant la suite constante égale à un

\[u_n=o_{+\infty}(1)\Longleftrightarrow\lim_{n\to+\infty}u_n=0\]

Exemple résolu Comparaison de puissances de suites réservé aux comptes

Exemple résolu Croissances comparées de suites réservé aux comptes

Suites équivalentes

Définition Équivalence de deux suites

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites de nombres réels non nuls.

On dit que \((u_n)\) est équivalente à \((v_n)\) s’il existe une suite \((w_n)\) convergeant vers \(1\) telle que l’on ait, à partir d’un certain rang, \(u_n=w_nv_n\).

\[u_n\sim_{+\infty}v_n\]

Caractérisation Caractérisation par le quotient

\[u_n\sim_{+\infty}v_n\Longleftrightarrow\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=1\]

Propriété Équivalence et négligeabilité de la différence

\[u_n\sim_{+\infty}v_n\Longleftrightarrow u_n-v_n=o_{+\infty}(v_n)\]

Caractérisation Formulation additive de l’équivalence

\[x_n+y_n\sim_{+\infty}x_n\Longleftrightarrow y_n=o_{+\infty}(x_n)\]

Applications et propriétés

Exemple résolu Équivalents simples de deux suites réservé aux comptes

Propriété Équivalents usuels pour les suites

Soient \(\alpha\) un réel et \((u_n)\) une suite vérifiant \(\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

\[\sin(u_n)\sim_{+\infty}u_n\qquad\tan(u_n)\sim_{+\infty}u_n\qquad\ln(1+u_n)\sim_{+\infty}u_n\qquad e^{u_n}-1\sim_{+\infty}u_n\qquad1-\cos(u_n)\sim_{+\infty}\frac{u_n^2}{2}\]

\[(1+u_n)^\alpha-1\sim_{+\infty}\alpha u_n\]

Soit \((v_n)\) une suite vérifiant \(\lim_{n\to+\infty}v_n=1\).

\[\ln(v_n)\sim_{+\infty}v_n-1\]

Exemple résolu Équivalents simples de quatre suites réservé aux comptes

Propriété Symétrie, transitivité, produit, puissance et quotient

Soient \((u_n)\), \((v_n)\), \((u'_n)\) et \((v'_n)\) des suites de nombres réels non nuls.

\[u_n\sim_{+\infty}v_n\Longrightarrow v_n\sim_{+\infty}u_n\]

\[u_n\sim_{+\infty}v_n\text{ et }v_n\sim_{+\infty}v'_n\Longrightarrow u_n\sim_{+\infty}v'_n\]

\[u_n\sim_{+\infty}v_n\text{ et }u'_n\sim_{+\infty}v'_n\Longrightarrow u_nu'_n\sim_{+\infty}v_nv'_n\]

\[u_n\sim_{+\infty}v_n\text{ et }v_n>0\text{ à partir d’un certain rang}\Longrightarrow\forall\alpha\in\mathbb{R},\ u_n^\alpha\sim_{+\infty}v_n^\alpha\]

\[u_n\sim_{+\infty}v_n\text{ et }u'_n\sim_{+\infty}v'_n\Longrightarrow\frac{u_n}{u'_n}\sim_{+\infty}\frac{v_n}{v'_n}\]

Remarques Remarques

Remarque Somme et différence

Il n’y a pas de résultat pour une somme ou une différence d’équivalents.

Remarque Composition

On ne peut pas composer les équivalents par une fonction.

Propriété Conservation des limites et du signe

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites équivalentes.

Si \((v_n)\) admet une limite finie ou infinie, alors \((u_n)\) a une limite et elles sont égales.

\[\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}u_n\]

À partir d’un certain rang, \((u_n)\) et \((v_n)\) sont de même signe.

Exercice Convergence d’une suite avec terme oscillant réservé aux comptes