Module
Combinaisons linéaires de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\)
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)
Combinaisons linéaires et colinéarité
Définition Combinaison linéaire d’une famille de vecteurs
Soient \(p\in\mathbb{N}^*\) et \(S=(u_1,u_2,\ldots,u_p)\) une famille finie de \(p\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).
Un vecteur \(u\) de \(\mathbb{R}^n\) est une combinaison linéaire des \(p\) vecteurs de la famille \(S\) s’il existe \(p\) réels \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p\) tels que l’on ait :
\[u=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\cdots+\lambda_pu_p\]
Exemple résolu Combinaison linéaire de trois vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes
Définition Colinéarité dans \(\mathbb{R}^n\)
Soient \(u\) et \(v\) deux vecteurs de \(\mathbb{R}^n\). \(u\) et \(v\) sont colinéaires s’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(v=\alpha u\) ou un réel \(\beta\) tel que \(u=\beta v\).
Premières propriétés
Propriété Annulation et opposés
\[\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad 0u=0_{\mathbb{R}^n}\]
\[\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\lambda0_{\mathbb{R}^n}=0_{\mathbb{R}^n}\]
\[\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad\left(\lambda u=0_{\mathbb{R}^n}\Longleftrightarrow\lambda=0\text{ ou }u=0_{\mathbb{R}^n}\right)\]
\[\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad-(\lambda u)=(-\lambda)u=\lambda(-u)\]
Remarque Vecteur nul comme combinaison linéaire
Le vecteur nul de \(\mathbb{R}^n\) est combinaison linéaire de n’importe quels autres vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).