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Coefficients de Fourier
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Définition et propriétés de symétrie
Définition Coefficients de Fourier trigonométriques
Soient \(T>0\), \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) la pulsation associée et \(f\in \mathcal C_{mT}(\mathbb R)\).
On appelle coefficients de Fourier trigonométriques de \(f\) les réels
\[a_0(f)=\frac{1}{T}\int_0^Tf(x)\,dx=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\,dx\]
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad a_n(f)=\frac{2}{T}\int_0^Tf(x)\cos(n\omega x)\,dx=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos(n\omega x)\,dx\]
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad b_n(f)=\frac{2}{T}\int_0^Tf(x)\sin(n\omega x)\,dx=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin(n\omega x)\,dx\]
Exemple résolu Calcul des coefficients d’une fonction impaire de période \(2\pi\) réservé aux comptes
Exemple résolu Calcul des coefficients d’une fonction de période \(\pi\) réservé aux comptes
Propriété Coefficients de Fourier des fonctions paires et impaires
Soit \(f\in \mathcal C_{mT}(\mathbb R)\).
Si \(f\) est paire, alors on a :
\[a_0(f)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\,dx=\frac{2}{T}\int_0^{T/2}f(x)\,dx\]
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad a_n(f)=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos(n\omega x)\,dx=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}f(x)\cos(n\omega x)\,dx\]
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad b_n(f)=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin(n\omega x)\,dx=0\]
Si \(f\) est impaire, alors on a :
\[a_0(f)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\,dx=0\]
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad a_n(f)=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos(n\omega x)\,dx=0\]
\[\forall n\in\mathbb N,\quad a_n(f)=0\]
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad b_n(f)=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin(n\omega x)\,dx=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}f(x)\sin(n\omega x)\,dx\]
Remarques Remarques
Remarque Coefficient constant et valeur moyenne
Le coefficient \(a_0(f)\) représente la valeur moyenne de \(f\) sur une période.
Remarque Notation simplifiée des coefficients
Lorsqu’il n’y aura pas de confusion possible, on pourra noter \(a_n\) et \(b_n\) au lieu de \(a_n(f)\) et \(b_n(f)\).
Remarque Choix de la formule de calcul
Dans cette définition, deux formules sont données pour chaque coefficient, mais il est évident qu’il ne faudra en utiliser qu’une en exercice, à vous de choisir la bonne selon le contexte !