Module
Applications entre ensembles
Définitions fondamentales
Définition Application entre ensembles
Soient \(E\) et \(F\) des ensembles.
On dit que \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\) lorsque, à tout élément \(x\) de \(E\), \(f\) associe un élément et un seul \(y\) de \(F\) que l’on note \(y=f(x)\).
On dit que :
\(y\) est l’image de \(x\) par \(f\) ;
\(x\) est l’antécédent de \(y\) par \(f\) ;
\(E\) est l’ensemble de départ de \(f\) ;
\(F\) est l’ensemble d’arrivée de \(f\).
\(\mathcal{F}(E,F)\) désigne l’ensemble des applications de \(E\) dans \(F\).
Exemple résolu Applications entre ensembles usuels réservé aux comptes
Définition Restriction et prolongement d’une application
Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\).
Si \(A\) est une partie de \(E\), la restriction de \(f\) à \(A\), notée \(f_{/A}\), est l’application de \(A\) vers \(F\) définie par \(\forall x\in A,\ f_{/A}(x)=f(x)\).
On appelle prolongement de \(f\), toute application \(g\) définie sur un ensemble \(A\) contenant \(E\) et vérifiant \(\forall x\in E,\ g(x)=f(x)\).
Remarque Pluralité des prolongements
On parle de la restriction et d’un prolongement.
Par exemple, si \(f\) est l’identité de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}_+\), elle possède une infinité de prolongements à \(\mathbb{R}\) : \(\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}\), \(x\mapsto|x|\), \(x\mapsto\frac{x+|x|}{2}\), …