Ensembles

Définition Appartenance et ensemble vide

Si \(x\) est un élément d’un ensemble \(E\), on dit que \(x\) appartient à \(E\), on note : \(x\in E\).

Si \(x\) n’appartient pas à \(E\), on note : \(x\notin E\).

On note \(\varnothing\) l’ensemble vide qui ne contient aucun élément.

Définition Inclusion de deux ensembles

Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles.

\(F\) est inclus dans \(E\) si tout élément de \(F\) est élément de \(E\).

Cette inclusion se note : \(F\subset E\) et sa négation se note \(F\not\subset E\).

On dit que \(F\) est un sous ensemble de \(E\), ou une partie de \(E\).

Ainsi : \(F\subset E\Leftrightarrow(\forall x\in F,\ x\in E)\).

Propriété Inclusion et singleton

De plus, pour toute partie \(F\) de \(E\) et pour tout \(x\) de \(E\), on a : \(\varnothing\subset F\), \(F\subset E\) et \(x\in F\Leftrightarrow\{x\}\subset F\).

Exemple résolu Inclusions des ensembles de nombres réservé aux comptes

Définition Égalité de deux ensembles

Deux ensembles \(E\) et \(F\) sont égaux s’ils ont les mêmes éléments : \(E=F\Leftrightarrow(E\subset F\text{ et }F\subset E)\).

Exemple résolu Caractérisation des réels négatifs réservé aux comptes

Définition Réunion de deux ensembles

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\).

La réunion de \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\), est une partie de \(E\) définie par : \(x\in A\cup B\Leftrightarrow(x\in A\text{ ou }x\in B)\).

Définition Intersection de deux ensembles

L’intersection de \(A\) et \(B\), notée \(A\cap B\), est une partie de \(E\) définie par : \(x\in A\cap B\Leftrightarrow(x\in A\text{ et }x\in B)\).

Exemple résolu Intersection et réunion de deux ensembles réservé aux comptes

Exemple résolu Inclusion et intersection réservé aux comptes

Exemple résolu Intersection d’ensembles définis réservé aux comptes