Terme
Famille liée
- Expression
- famille liée, familles liées, linéairement dépendants
- Adjectif
- liée
- Termes plus larges
- Famille de vecteurs, Combinaison linéaire
- Cas particulier de
- Famille de vecteurs
- Condition de définition
- Combinaison linéaire
- Opposé à
- Famille libre
Définition
Définition Familles libres et familles liées
Soit \(p\in\mathbb{N}^*\).
Une famille \((u_1,u_2,\ldots,u_p)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) est libre, si la seule combinaison linéaire de \((u_1,u_2,\ldots,u_p)\) donnant le vecteur nul de \(\mathbb{R}^n\) est celle où tous les coefficients sont nuls.
Autrement dit, une famille \((u_1,u_2,\ldots,u_p)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) est libre, si on a :
On dit aussi que les vecteurs \(u_1,\ldots,u_p\) sont linéairement indépendants.
Dans le cas contraire, la famille \((u_1,\ldots,u_p)\) est dite liée et les vecteurs de \((u_1,\ldots,u_p)\) sont dits linéairement dépendants.
Propriété Caractérisation non nulle d’une famille libre
La famille \((u_1,\ldots,u_p)\) est libre si :
Propriété Relation non triviale d’une famille liée
La famille \((u_1,\ldots,u_p)\) est liée si l’on peut trouver une famille \((\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\) de scalaires non tous nuls, vérifiant \(\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_pu_p=0_{\mathbb{R}^n}\).
Propriété Caractérisation d’une famille liée par combinaison linéaire
La famille \((u_1,\ldots,u_p)\) est liée si et seulement si l’un au moins des vecteurs de \(S\) est combinaison linéaire des autres vecteurs de cette famille.
Propriété Vecteur nul dans une famille liée
Si le vecteur nul appartient à une famille de vecteurs alors cette famille est liée.
Autrement dit, si une famille est libre alors la famille ne contient pas le vecteur nul.
Propriété Famille réduite à un seul vecteur
Une famille réduite à un seul vecteur \(u\) est libre si et seulement si \(u\) est non nul.
Autrement dit, cette famille est liée si et seulement si \(u\) est nul.
Propriété Famille de deux vecteurs
Une famille de deux vecteurs \(u\) et \(v\) est liée si et seulement si \(u\) et \(v\) sont colinéaires.
Autrement dit, cette famille est libre si et seulement si \(u\) et \(v\) ne sont pas colinéaires.
Méthode Étude de la liberté d’une famille
Pour savoir si une famille \((u_1,\ldots,u_p)\) est libre ou liée, on résout un système linéaire homogène.
S’il a une infinité de solutions, la famille est liée, s’il a une seule solution \((0,\ldots,0)\), la famille est libre.
Exemple résolu Étude de la liberté de familles dans \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes
Exemple résolu Étude de la liberté de deux vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes
Exemple résolu Étude de la liberté de trois vecteurs de \(\mathbb{R}^2\) réservé aux comptes
Exemple résolu Détermination d’une famille libre de \(\mathbb{R}^2\) réservé aux comptes
Exemple résolu Détermination d’une famille libre de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes
Exemple résolu Détermination d’une famille libre de \(\mathbb{R}^n\) réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Information nouvelle dans une famille libre
Une famille libre est une famille où chaque vecteur apporte une nouvelle information : il n’y a pas de redondance d’information au sein d’une telle famille.