Séries numériques

Plan

1. 1 Généralités

   • Généralités sur les séries numériques
     • Série numérique et somme partielle
     • Convergence et somme d’une série
     • Divergence d’une série
     • Reste d’une série convergente
     • Conservation de la nature après modification des premiers termes
     • Condition nécessaire de convergence

2. 2 Série géométrique et séries dérivées

   • Série géométrique et séries dérivées

3. 3 Propriétés des séries numériques

   • Propriétés des séries numériques

4. 4 Critères de convergence des séries à termes positifs

   • Critères de convergence des séries à termes positifs

5. Bilan : étude de la nature d’une série

   • Généralités sur les séries numériques
     • Étude de la nature d’une série

Objectifs

Séries numériques

Objectifs des parcours antérieurs

• Révision des objectifs antérieurs

  Revoir les objectifs des parcours de sommes et produits, de suites, de relations de comparaison locale et de développements limités.

  Utiliser · Sommes et produits, Suites, Relations de comparaison locale, Développements limités

Définitions et notations

• Définitions et notations des séries

  Connaître et maîtriser les définitions et les notations d’une série, d’une somme partielle de rang \(n\), d’une série convergente, d’une série divergente, d’une somme en cas de série convergente et du reste de rang \(n\) en cas de série convergente.

  Connaître, définir · Série numérique et somme partielle, Convergence et somme d’une série, Divergence d’une série, Reste d’une série convergente

• Distinction entre suite, série et somme

  Ne pas confondre les notions de suite et de série, ni les notations \((u_n)\), \(\sum u_n\), \(\sum_{n=0}^{N}u_n\) et \(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\). Par exemple, la suite \(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\geq1}\) converge mais la série \(\sum_{n\geq1}\frac{1}{n}\) diverge ; l’écriture \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\) n’a pas de sens.

  Reconnaître · Condition nécessaire de convergence, Convergence et somme d’une série

• Interprétation de la convergence

  Savoir interpréter qu’une série est convergente avec les notions de somme et de somme partielle.

  Utiliser · Convergence et somme d’une série

Séries de référence

• Séries de Riemann

  Connaître et savoir reconnaître les séries de Riemann : définition, condition nécessaire et suffisante de convergence.

  Connaître, reconnaître, définir · Critère de convergence de la série de Riemann

• Séries géométriques et dérivées

  Connaître et savoir reconnaître les séries géométriques et leurs dérivées : définition, condition nécessaire et suffisante de convergence, somme en cas de convergence.

  Connaître, reconnaître, définir · Série géométrique et séries dérivées

• Série exponentielle

  Connaître et savoir reconnaître la série exponentielle : définition et somme.

  Connaître, reconnaître, définir · Convergence et somme de la série exponentielle

Propriétés

• Opérations sur les séries convergentes

  Connaître les différentes opérations sur les séries convergentes.

  Connaître · Opérations sur les séries convergentes

• Liens entre suite et série

  Connaître les liens entre suite et série : la propriété « Si la série \(\sum u_n\) converge, alors la suite \((u_n)\) converge vers \(0\) » et sa contraposée « Si la suite \((u_n)\) ne converge pas vers \(0\), alors la série \(\sum u_n\) diverge », ainsi que « La suite \((u_n)\) converge si et seulement si la série \(\sum(u_{n+1}-u_n)\) converge ».

  Connaître · Condition nécessaire de convergence, Convergence d’une suite et série des différences

Convergence absolue

• Définition

  Connaître la définition.

  Connaître, définir · Convergence absolue d’une série

• Lien avec une série convergente

  Connaître le lien entre série convergente et série absolument convergente.

  Connaître · Conséquence de la convergence absolue

Critères de convergence d’une série à termes positifs

• Maîtrise des critères de convergence

  Maîtriser le critère de comparaison, le critère d’équivalence, le critère de négligeabilité, la comparaison à une série géométrique et la règle de d’Alembert.

  Connaître, appliquer, utiliser · Critère de comparaison, Critère d’équivalence, Critère de négligeabilité, Comparaison à une série géométrique et règle de d’Alembert

Méthodes d’étude

• Méthodes d’étude de la convergence

  Connaître les différentes méthodes pour étudier si une série est convergente.

  Connaître, étudier, utiliser · Étude de la nature d’une série