Module
Propriétés des séries numériques
- Domaine
- Analyse
Opérations sur les séries convergentes
Propriété Stabilité par somme et produit par un scalaire
Soit \(\lambda\in\mathbb{R}\).
Si les séries \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) et \(\sum_{n\geq n_0}v_n\) convergent, alors les séries \(\sum_{n\geq n_0}(u_n+v_n)\) et \(\sum_{n\geq n_0}(\lambda u_n)\) sont convergentes et on a
Exemple résolu Étude d’une combinaison de séries exponentielles réservé aux comptes
Lien entre suite et série
Propriété Convergence d’une suite et série des différences
Une suite \((u_n)_{n\geq0}\) converge si et seulement si la série \(\sum_{n\geq0}(u_{n+1}-u_n)\) converge.
Exemple résolu Étude d’une série de terme inverse de \(n(n+1)\) réservé aux comptes
Convergence absolue
Définition Convergence absolue d’une série
On dit que la série \(\sum u_n\) converge absolument lorsque la série \(\sum\lvert u_n\rvert\) converge.
Propriété Conséquence de la convergence absolue
Si la série \(\sum u_n\) converge absolument alors la série \(\sum u_n\) converge.
Exemple résolu Étude d’une série alternée à dénominateur \(n(n+1)\) réservé aux comptes
Exemple résolu Convergence et somme d’une série alternée réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Absence de réciproque
La réciproque de la propriété précédente est donc fausse : si la série \(\sum u_n\) converge, on ne peut pas donner la nature de la série \(\sum\lvert u_n\rvert\).
Remarque Contraposée de la convergence absolue
On peut, par contre, utiliser sa contraposée : si \(\sum u_n\) diverge alors \(\sum\lvert u_n\rvert\) diverge.
Propriété Majoration de la somme par la somme des valeurs absolues
Si la série \(\sum_{n\geq0}u_n\) converge absolument alors
Remarques Remarques
Remarque Multiplication par un scalaire non nul
Si \(\lambda\neq0\), les séries \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) et \(\sum_{n\geq n_0}(\lambda u_n)\) sont de même nature.
Remarque Somme de séries de nature différente
Si les séries \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) et \(\sum_{n\geq n_0}v_n\) sont de nature différente, alors la série \(\sum_{n\geq n_0}(u_n+v_n)\) diverge.
Remarque Somme de deux séries divergentes
Si les séries \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) et \(\sum_{n\geq n_0}v_n\) divergent, on ne peut pas prévoir la nature de la série \(\sum_{n\geq n_0}(u_n+v_n)\).
En effet, les séries \(\sum_{n\geq1}\frac{1}{n}\) et \(\sum_{n\geq1}-\frac{1}{n}\) divergent, mais \(\sum_{n\geq1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\right)\) converge et \(\sum_{n\geq1}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\) diverge.